Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34460 / 36499
↖ ↑ ↗
← S 20.071411°
E  9.294434°		 ← 573.69 m → S 20.071411°
E  9.299927°		 →
↑
573.71 m
↓
↑
573.71 m
↓
S 20.076570°
E  9.294434°		 ← 573.67 m →
329 127 m²		 S 20.076570°
E  9.299927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525825500488281 y=0.556938171386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525825500488281 × 216)
    floor (0.525825500488281 × 65536)
    floor (34460.5)     		tx = 34460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556938171386719 × 216)
    floor (0.556938171386719 × 65536)
    floor (36499.5)     		ty = 36499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34460 / 36499 ti = "16/34460/36499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34460/36499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34460 ÷ 216
    34460 ÷ 65536     		x = 0.52581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36499 ÷ 216
    36499 ÷ 65536     		y = 0.556930541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52581787109375 × 2 - 1) × π
    0.0516357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16221847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556930541992188 × 2 - 1) × π
    -0.113861083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.357705144964859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16221847} λ = 0.16221847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.357705144964859))-π/2
    2×atan(0.699279230614139)-π/2
    2×0.610242062727024-π/2
    1.22048412545405-1.57079632675     		φ = -0.35031220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16221847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.294434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35031220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.071411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34460 KachelY 36499 0.16221847 -0.35031220 9.294434 -20.071411
    Oben rechts KachelX + 1 34461 KachelY 36499 0.16231434 -0.35031220 9.299927 -20.071411
    Unten links KachelX 34460 KachelY + 1 36500 0.16221847 -0.35040225 9.294434 -20.076570
    Unten rechts KachelX + 1 34461 KachelY + 1 36500 0.16231434 -0.35040225 9.299927 -20.076570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35031220--0.35040225) × R
    9.00500000000082e-05 × 6371000     		dl = 573.708550000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35031220--0.35040225) × R
    9.00500000000082e-05 × 6371000     		dr = 573.708550000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16221847-0.16231434) × cos(-0.35031220) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.939265614373846 × 6371000     		do = 573.691950041069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16221847-0.16231434) × cos(-0.35040225) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93923470621042 × 6371000     		du = 573.673071712855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35031220)-sin(-0.35040225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939265614373846-0.93923470621042)×R²
    abs(0.16231434-0.16221847)×3.09081634259911e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09081634259911e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09081634259911e-05×40589641000000     		ar = 329126.561698044m²