Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34459 / 21853
↖ ↑ ↗
← N 51.299711°
E  9.288940°		 ← 381.93 m → N 51.299711°
E  9.294434°		 →
↑
381.94 m
↓
↑
381.94 m
↓
N 51.296276°
E  9.288940°		 ← 381.96 m →
145 881 m²		 N 51.296276°
E  9.294434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525810241699219 y=0.333457946777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525810241699219 × 216)
    floor (0.525810241699219 × 65536)
    floor (34459.5)     		tx = 34459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333457946777344 × 216)
    floor (0.333457946777344 × 65536)
    floor (21853.5)     		ty = 21853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34459 / 21853 ti = "16/34459/21853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34459/21853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34459 ÷ 216
    34459 ÷ 65536     		x = 0.525802612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21853 ÷ 216
    21853 ÷ 65536     		y = 0.333450317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525802612304688 × 2 - 1) × π
    0.051605224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16212259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333450317382812 × 2 - 1) × π
    0.333099365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04646251870583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16212259} λ = 0.16212259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04646251870583))-π/2
    2×atan(2.84756008962298)-π/2
    2×1.23307259282708-π/2
    2.46614518565416-1.57079632675     		φ = 0.89534886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16212259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.288940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89534886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.299711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34459 KachelY 21853 0.16212259 0.89534886 9.288940 51.299711
    Oben rechts KachelX + 1 34460 KachelY 21853 0.16221847 0.89534886 9.294434 51.299711
    Unten links KachelX 34459 KachelY + 1 21854 0.16212259 0.89528891 9.288940 51.296276
    Unten rechts KachelX + 1 34460 KachelY + 1 21854 0.16221847 0.89528891 9.294434 51.296276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89534886-0.89528891) × R
    5.99500000000308e-05 × 6371000     		dl = 381.941450000196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89534886-0.89528891) × R
    5.99500000000308e-05 × 6371000     		dr = 381.941450000196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16212259-0.16221847) × cos(0.89534886) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.625246594592708 × 6371000     		do = 381.932807671887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16212259-0.16221847) × cos(0.89528891) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.62529338008288 × 6371000     		du = 381.9613866578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89534886)-sin(0.89528891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625246594592708-0.62529338008288)×R²
    abs(0.16221847-0.16212259)×4.67854901714526e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67854901714526e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67854901714526e-05×40589641000000     		ar = 145881.428158306m²