Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34458 / 36510
↖ ↑ ↗
← S 20.128155°
E  9.283447°		 ← 573.48 m → S 20.128155°
E  9.288940°		 →
↑
573.52 m
↓
↑
573.52 m
↓
S 20.133313°
E  9.283447°		 ← 573.47 m →
328 898 m²		 S 20.133313°
E  9.288940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525794982910156 y=0.557106018066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525794982910156 × 216)
    floor (0.525794982910156 × 65536)
    floor (34458.5)     		tx = 34458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557106018066406 × 216)
    floor (0.557106018066406 × 65536)
    floor (36510.5)     		ty = 36510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34458 / 36510 ti = "16/34458/36510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34458/36510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34458 ÷ 216
    34458 ÷ 65536     		x = 0.525787353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36510 ÷ 216
    36510 ÷ 65536     		y = 0.557098388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525787353515625 × 2 - 1) × π
    0.05157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16202672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.557098388671875 × 2 - 1) × π
    -0.11419677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.3587597567565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16202672} λ = 0.16202672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.3587597567565))-π/2
    2×atan(0.698542151226505)-π/2
    2×0.609746872130439-π/2
    1.21949374426088-1.57079632675     		φ = -0.35130258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16202672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.283447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35130258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.128155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34458 KachelY 36510 0.16202672 -0.35130258 9.283447 -20.128155
    Oben rechts KachelX + 1 34459 KachelY 36510 0.16212259 -0.35130258 9.288940 -20.128155
    Unten links KachelX 34458 KachelY + 1 36511 0.16202672 -0.35139260 9.283447 -20.133313
    Unten rechts KachelX + 1 34459 KachelY + 1 36511 0.16212259 -0.35139260 9.288940 -20.133313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35130258--0.35139260) × R
    9.0020000000024e-05 × 6371000     		dl = 573.517420000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35130258--0.35139260) × R
    9.0020000000024e-05 × 6371000     		dr = 573.517420000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16202672-0.16212259) × cos(-0.35130258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938925264224038 × 6371000     		do = 573.484068332049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16202672-0.16212259) × cos(-0.35139260) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.938894282636131 × 6371000     		du = 573.46514515706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35130258)-sin(-0.35139260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938925264224038-0.938894282636131)×R²
    abs(0.16212259-0.16202672)×3.09815879068198e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09815879068198e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09815879068198e-05×40589641000000     		ar = 328897.67711793m²