Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34458 / 34918
↖ ↑ ↗
← S 11.727545°
E  9.283447°		 ← 598.04 m → S 11.727545°
E  9.288940°		 →
↑
598.11 m
↓
↑
598.11 m
↓
S 11.732924°
E  9.283447°		 ← 598.03 m →
357 689 m²		 S 11.732924°
E  9.288940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525794982910156 y=0.532814025878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525794982910156 × 216)
    floor (0.525794982910156 × 65536)
    floor (34458.5)     		tx = 34458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532814025878906 × 216)
    floor (0.532814025878906 × 65536)
    floor (34918.5)     		ty = 34918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34458 / 34918 ti = "16/34458/34918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34458/34918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34458 ÷ 216
    34458 ÷ 65536     		x = 0.525787353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34918 ÷ 216
    34918 ÷ 65536     		y = 0.532806396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525787353515625 × 2 - 1) × π
    0.05157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16202672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532806396484375 × 2 - 1) × π
    -0.06561279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.206128668366241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16202672} λ = 0.16202672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.206128668366241))-π/2
    2×atan(0.81372836844704)-π/2
    2×0.683056021535741-π/2
    1.36611204307148-1.57079632675     		φ = -0.20468428
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16202672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.283447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20468428 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.727545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34458 KachelY 34918 0.16202672 -0.20468428 9.283447 -11.727545
    Oben rechts KachelX + 1 34459 KachelY 34918 0.16212259 -0.20468428 9.288940 -11.727545
    Unten links KachelX 34458 KachelY + 1 34919 0.16202672 -0.20477816 9.283447 -11.732924
    Unten rechts KachelX + 1 34459 KachelY + 1 34919 0.16212259 -0.20477816 9.288940 -11.732924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20468428--0.20477816) × R
    9.38799999999906e-05 × 6371000     		dl = 598.10947999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20468428--0.20477816) × R
    9.38799999999906e-05 × 6371000     		dr = 598.10947999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16202672-0.16212259) × cos(-0.20468428) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979125205946195 × 6371000     		do = 598.037701090654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16202672-0.16212259) × cos(-0.20477816) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979106119766631 × 6371000     		du = 598.0260434856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20468428)-sin(-0.20477816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979125205946195-0.979106119766631)×R²
    abs(0.16212259-0.16202672)×1.90861795640318e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90861795640318e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90861795640318e-05×40589641000000     		ar = 357688.532420421m²