Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34456 / 34952
↖ ↑ ↗
← S 11.910353°
E  9.272461°		 ← 597.70 m → S 11.910353°
E  9.277954°		 →
↑
597.66 m
↓
↑
597.66 m
↓
S 11.915728°
E  9.272461°		 ← 597.69 m →
357 220 m²		 S 11.915728°
E  9.277954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525764465332031 y=0.533332824707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525764465332031 × 216)
    floor (0.525764465332031 × 65536)
    floor (34456.5)     		tx = 34456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533332824707031 × 216)
    floor (0.533332824707031 × 65536)
    floor (34952.5)     		ty = 34952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34456 / 34952 ti = "16/34456/34952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34456/34952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34456 ÷ 216
    34456 ÷ 65536     		x = 0.5257568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34952 ÷ 216
    34952 ÷ 65536     		y = 0.5333251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5257568359375 × 2 - 1) × π
    0.051513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16183497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5333251953125 × 2 - 1) × π
    -0.066650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.209388377540405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16183497} λ = 0.16183497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.209388377540405))-π/2
    2×atan(0.811080169143832)-π/2
    2×0.68146072108794-π/2
    1.36292144217588-1.57079632675     		φ = -0.20787488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16183497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.272461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20787488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.910353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34456 KachelY 34952 0.16183497 -0.20787488 9.272461 -11.910353
    Oben rechts KachelX + 1 34457 KachelY 34952 0.16193085 -0.20787488 9.277954 -11.910353
    Unten links KachelX 34456 KachelY + 1 34953 0.16183497 -0.20796869 9.272461 -11.915728
    Unten rechts KachelX + 1 34457 KachelY + 1 34953 0.16193085 -0.20796869 9.277954 -11.915728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20787488--0.20796869) × R
    9.38099999999997e-05 × 6371000     		dl = 597.663509999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20787488--0.20796869) × R
    9.38099999999997e-05 × 6371000     		dr = 597.663509999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16183497-0.16193085) × cos(-0.20787488) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.978471708234068 × 6371000     		do = 597.700891112863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16183497-0.16193085) × cos(-0.20796869) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.978452343327278 × 6371000     		du = 597.68906203089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20787488)-sin(-0.20796869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978471708234068-0.978452343327278)×R²
    abs(0.16193085-0.16183497)×1.93649067901092e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.93649067901092e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.93649067901092e-05×40589641000000     		ar = 357220.477869304m²