Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34456 / 32456
↖ ↑ ↗
← N  1.713612°
E  9.272461°		 ← 610.58 m → N  1.713612°
E  9.277954°		 →
↑
610.60 m
↓
↑
610.60 m
↓
N  1.708121°
E  9.272461°		 ← 610.58 m →
372 818 m²		 N  1.708121°
E  9.277954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525764465332031 y=0.495246887207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525764465332031 × 216)
    floor (0.525764465332031 × 65536)
    floor (34456.5)     		tx = 34456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495246887207031 × 216)
    floor (0.495246887207031 × 65536)
    floor (32456.5)     		ty = 32456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34456 / 32456 ti = "16/34456/32456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34456/32456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34456 ÷ 216
    34456 ÷ 65536     		x = 0.5257568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32456 ÷ 216
    32456 ÷ 65536     		y = 0.4952392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5257568359375 × 2 - 1) × π
    0.051513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16183497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4952392578125 × 2 - 1) × π
    0.009521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.029912625362915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16183497} λ = 0.16183497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.029912625362915))-π/2
    2×atan(1.03036450229588)-π/2
    2×0.800352246179788-π/2
    1.60070449235958-1.57079632675     		φ = 0.02990817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16183497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.272461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02990817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.713612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34456 KachelY 32456 0.16183497 0.02990817 9.272461 1.713612
    Oben rechts KachelX + 1 34457 KachelY 32456 0.16193085 0.02990817 9.277954 1.713612
    Unten links KachelX 34456 KachelY + 1 32457 0.16183497 0.02981233 9.272461 1.708121
    Unten rechts KachelX + 1 34457 KachelY + 1 32457 0.16193085 0.02981233 9.277954 1.708121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02990817-0.02981233) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dl = 610.596639999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02990817-0.02981233) × R
    9.58399999999998e-05 × 6371000     		dr = 610.596639999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16183497-0.16193085) × cos(0.02990817) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.99955278402129 × 6371000     		do = 610.578297457478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16183497-0.16193085) × cos(0.02981233) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999555645402387 × 6371000     		du = 610.580045336356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02990817)-sin(0.02981233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99955278402129-0.999555645402387)×R²
    abs(0.16193085-0.16183497)×2.86138109695244e-06×R²
    9.58799999999926e-05×2.86138109695244e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.86138109695244e-06×40589641000000     		ar = 372817.59079431m²