Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34455 / 36495
↖ ↑ ↗
← S 20.050771°
E  9.266968°		 ← 573.77 m → S 20.050771°
E  9.272461°		 →
↑
573.84 m
↓
↑
573.84 m
↓
S 20.055932°
E  9.266968°		 ← 573.75 m →
329 243 m²		 S 20.055932°
E  9.272461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525749206542969 y=0.556877136230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525749206542969 × 216)
    floor (0.525749206542969 × 65536)
    floor (34455.5)     		tx = 34455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556877136230469 × 216)
    floor (0.556877136230469 × 65536)
    floor (36495.5)     		ty = 36495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34455 / 36495 ti = "16/34455/36495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34455/36495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34455 ÷ 216
    34455 ÷ 65536     		x = 0.525741577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36495 ÷ 216
    36495 ÷ 65536     		y = 0.556869506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525741577148438 × 2 - 1) × π
    0.051483154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16173910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556869506835938 × 2 - 1) × π
    -0.113739013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.357321649767899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16173910} λ = 0.16173910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.357321649767899))-π/2
    2×atan(0.699547452267984)-π/2
    2×0.61042217650125-π/2
    1.2208443530025-1.57079632675     		φ = -0.34995197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16173910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.266968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34995197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.050771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34455 KachelY 36495 0.16173910 -0.34995197 9.266968 -20.050771
    Oben rechts KachelX + 1 34456 KachelY 36495 0.16183497 -0.34995197 9.272461 -20.050771
    Unten links KachelX 34455 KachelY + 1 36496 0.16173910 -0.35004204 9.266968 -20.055932
    Unten rechts KachelX + 1 34456 KachelY + 1 36496 0.16183497 -0.35004204 9.272461 -20.055932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34995197--0.35004204) × R
    9.00699999999977e-05 × 6371000     		dl = 573.835969999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34995197--0.35004204) × R
    9.00699999999977e-05 × 6371000     		dr = 573.835969999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16173910-0.16183497) × cos(-0.34995197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.939389181145554 × 6371000     		do = 573.767423114006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16173910-0.16183497) × cos(-0.35004204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.939358296593452 × 6371000     		du = 573.748559207301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34995197)-sin(-0.35004204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939389181145554-0.939358296593452)×R²
    abs(0.16183497-0.16173910)×3.0884552101984e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.0884552101984e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.0884552101984e-05×40589641000000     		ar = 329242.973625623m²