Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34455 / 34961
↖ ↑ ↗
← S 11.958724°
E  9.266968°		 ← 597.53 m → S 11.958724°
E  9.272461°		 →
↑
597.54 m
↓
↑
597.54 m
↓
S 11.964097°
E  9.266968°		 ← 597.52 m →
357 043 m²		 S 11.964097°
E  9.272461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525749206542969 y=0.533470153808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525749206542969 × 216)
    floor (0.525749206542969 × 65536)
    floor (34455.5)     		tx = 34455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533470153808594 × 216)
    floor (0.533470153808594 × 65536)
    floor (34961.5)     		ty = 34961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34455 / 34961 ti = "16/34455/34961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34455/34961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34455 ÷ 216
    34455 ÷ 65536     		x = 0.525741577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34961 ÷ 216
    34961 ÷ 65536     		y = 0.533462524414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525741577148438 × 2 - 1) × π
    0.051483154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16173910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533462524414062 × 2 - 1) × π
    -0.066925048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.210251241733566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16173910} λ = 0.16173910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.210251241733566))-π/2
    2×atan(0.810380618959901)-π/2
    2×0.681038614623186-π/2
    1.36207722924637-1.57079632675     		φ = -0.20871910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16173910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.266968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20871910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.958724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34455 KachelY 34961 0.16173910 -0.20871910 9.266968 -11.958724
    Oben rechts KachelX + 1 34456 KachelY 34961 0.16183497 -0.20871910 9.272461 -11.958724
    Unten links KachelX 34455 KachelY + 1 34962 0.16173910 -0.20881289 9.266968 -11.964097
    Unten rechts KachelX + 1 34456 KachelY + 1 34962 0.16183497 -0.20881289 9.272461 -11.964097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20871910--0.20881289) × R
    9.37900000000103e-05 × 6371000     		dl = 597.536090000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20871910--0.20881289) × R
    9.37900000000103e-05 × 6371000     		dr = 597.536090000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16173910-0.16183497) × cos(-0.20871910) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978297128606942 × 6371000     		do = 597.531921579224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16173910-0.16183497) × cos(-0.20881289) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978277690362486 × 6371000     		du = 597.52004893724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20871910)-sin(-0.20881289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978297128606942-0.978277690362486)×R²
    abs(0.16183497-0.16173910)×1.94382444562713e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.94382444562713e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.94382444562713e-05×40589641000000     		ar = 357043.341166348m²