Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34455 / 32425
↖ ↑ ↗
← N  1.883816°
E  9.266968°		 ← 610.46 m → N  1.883816°
E  9.272461°		 →
↑
610.47 m
↓
↑
610.47 m
↓
N  1.878326°
E  9.266968°		 ← 610.46 m →
372 666 m²		 N  1.878326°
E  9.272461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525749206542969 y=0.494773864746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525749206542969 × 216)
    floor (0.525749206542969 × 65536)
    floor (34455.5)     		tx = 34455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494773864746094 × 216)
    floor (0.494773864746094 × 65536)
    floor (32425.5)     		ty = 32425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34455 / 32425 ti = "16/34455/32425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34455/32425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34455 ÷ 216
    34455 ÷ 65536     		x = 0.525741577148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32425 ÷ 216
    32425 ÷ 65536     		y = 0.494766235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525741577148438 × 2 - 1) × π
    0.051483154296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16173910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494766235351562 × 2 - 1) × π
    0.010467529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0328847131393585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16173910} λ = 0.16173910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0328847131393585))-π/2
    2×atan(1.03343139131255)-π/2
    2×0.801837557295378-π/2
    1.60367511459076-1.57079632675     		φ = 0.03287879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16173910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.266968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03287879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.883816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34455 KachelY 32425 0.16173910 0.03287879 9.266968 1.883816
    Oben rechts KachelX + 1 34456 KachelY 32425 0.16183497 0.03287879 9.272461 1.883816
    Unten links KachelX 34455 KachelY + 1 32426 0.16173910 0.03278297 9.266968 1.878326
    Unten rechts KachelX + 1 34456 KachelY + 1 32426 0.16183497 0.03278297 9.272461 1.878326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03287879-0.03278297) × R
    9.58199999999965e-05 × 6371000     		dl = 610.469219999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03287879-0.03278297) × R
    9.58199999999965e-05 × 6371000     		dr = 610.469219999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16173910-0.16183497) × cos(0.03287879) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999459541273691 × 6371000     		do = 610.457664419767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16173910-0.16183497) × cos(0.03278297) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999462686563507 × 6371000     		du = 610.45958552432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03287879)-sin(0.03278297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999459541273691-0.999462686563507)×R²
    abs(0.16183497-0.16173910)×3.14528981548712e-06×R²
    9.58699999999979e-05×3.14528981548712e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.14528981548712e-06×40589641000000     		ar = 372666.200914077m²