Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34453 / 36489
↖ ↑ ↗
← S 20.019807°
E  9.255981°		 ← 573.94 m → S 20.019807°
E  9.261475°		 →
↑
573.90 m
↓
↑
573.90 m
↓
S 20.024968°
E  9.255981°		 ← 573.92 m →
329 379 m²		 S 20.024968°
E  9.261475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525718688964844 y=0.556785583496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525718688964844 × 216)
    floor (0.525718688964844 × 65536)
    floor (34453.5)     		tx = 34453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556785583496094 × 216)
    floor (0.556785583496094 × 65536)
    floor (36489.5)     		ty = 36489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34453 / 36489 ti = "16/34453/36489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34453/36489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34453 ÷ 216
    34453 ÷ 65536     		x = 0.525711059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36489 ÷ 216
    36489 ÷ 65536     		y = 0.556777954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525711059570312 × 2 - 1) × π
    0.051422119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16154735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556777954101562 × 2 - 1) × π
    -0.113555908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.356746406972458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16154735} λ = 0.16154735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.356746406972458))-π/2
    2×atan(0.699949977663787)-π/2
    2×0.610692391562519-π/2
    1.22138478312504-1.57079632675     		φ = -0.34941154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16154735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.255981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34941154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.019807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34453 KachelY 36489 0.16154735 -0.34941154 9.255981 -20.019807
    Oben rechts KachelX + 1 34454 KachelY 36489 0.16164323 -0.34941154 9.261475 -20.019807
    Unten links KachelX 34453 KachelY + 1 36490 0.16154735 -0.34950162 9.255981 -20.024968
    Unten rechts KachelX + 1 34454 KachelY + 1 36490 0.16164323 -0.34950162 9.261475 -20.024968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34941154--0.34950162) × R
    9.00799999999924e-05 × 6371000     		dl = 573.899679999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34941154--0.34950162) × R
    9.00799999999924e-05 × 6371000     		dr = 573.899679999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16154735-0.16164323) × cos(-0.34941154) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.939574331834093 × 6371000     		do = 573.940371170823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16154735-0.16164323) × cos(-0.34950162) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.939543489587657 × 6371000     		du = 573.921531138941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34941154)-sin(-0.34950162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939574331834093-0.939543489587657)×R²
    abs(0.16164323-0.16154735)×3.08422464360136e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.08422464360136e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.08422464360136e-05×40589641000000     		ar = 329378.789432506m²