Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34453 / 34955
↖ ↑ ↗
← S 11.926478°
E  9.255981°		 ← 597.67 m → S 11.926478°
E  9.261475°		 →
↑
597.60 m
↓
↑
597.60 m
↓
S 11.931852°
E  9.255981°		 ← 597.65 m →
357 161 m²		 S 11.931852°
E  9.261475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525718688964844 y=0.533378601074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525718688964844 × 216)
    floor (0.525718688964844 × 65536)
    floor (34453.5)     		tx = 34453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533378601074219 × 216)
    floor (0.533378601074219 × 65536)
    floor (34955.5)     		ty = 34955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34453 / 34955 ti = "16/34453/34955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34453/34955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34453 ÷ 216
    34453 ÷ 65536     		x = 0.525711059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34955 ÷ 216
    34955 ÷ 65536     		y = 0.533370971679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525711059570312 × 2 - 1) × π
    0.051422119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16154735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533370971679688 × 2 - 1) × π
    -0.066741943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.209675998938126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16154735} λ = 0.16154735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.209675998938126))-π/2
    2×atan(0.81084691867744)-π/2
    2×0.68132001056606-π/2
    1.36264002113212-1.57079632675     		φ = -0.20815631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16154735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.255981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20815631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.926478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34453 KachelY 34955 0.16154735 -0.20815631 9.255981 -11.926478
    Oben rechts KachelX + 1 34454 KachelY 34955 0.16164323 -0.20815631 9.261475 -11.926478
    Unten links KachelX 34453 KachelY + 1 34956 0.16154735 -0.20825011 9.255981 -11.931852
    Unten rechts KachelX + 1 34454 KachelY + 1 34956 0.16164323 -0.20825011 9.261475 -11.931852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20815631--0.20825011) × R
    9.37999999999772e-05 × 6371000     		dl = 597.599799999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20815631--0.20825011) × R
    9.37999999999772e-05 × 6371000     		dr = 597.599799999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16154735-0.16164323) × cos(-0.20815631) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.978413587681798 × 6371000     		do = 597.66538808749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16154735-0.16164323) × cos(-0.20825011) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.978394199010932 × 6371000     		du = 597.653544489196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20815631)-sin(-0.20825011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978413587681798-0.978394199010932)×R²
    abs(0.16164323-0.16154735)×1.93886708668156e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.93886708668156e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.93886708668156e-05×40589641000000     		ar = 357161.177783726m²