Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34453 / 22006
↖ ↑ ↗
← N 50.771208°
E  9.255981°		 ← 386.31 m → N 50.771208°
E  9.261475°		 →
↑
386.27 m
↓
↑
386.27 m
↓
N 50.767734°
E  9.255981°		 ← 386.34 m →
149 228 m²		 N 50.767734°
E  9.261475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525718688964844 y=0.335792541503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525718688964844 × 216)
    floor (0.525718688964844 × 65536)
    floor (34453.5)     		tx = 34453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335792541503906 × 216)
    floor (0.335792541503906 × 65536)
    floor (22006.5)     		ty = 22006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34453 / 22006 ti = "16/34453/22006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34453/22006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34453 ÷ 216
    34453 ÷ 65536     		x = 0.525711059570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22006 ÷ 216
    22006 ÷ 65536     		y = 0.335784912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525711059570312 × 2 - 1) × π
    0.051422119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16154735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335784912109375 × 2 - 1) × π
    0.32843017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03179382742209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16154735} λ = 0.16154735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03179382742209))-π/2
    2×atan(2.80609497275875)-π/2
    2×1.22846053432851-π/2
    2.45692106865702-1.57079632675     		φ = 0.88612474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16154735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.255981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88612474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.771208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34453 KachelY 22006 0.16154735 0.88612474 9.255981 50.771208
    Oben rechts KachelX + 1 34454 KachelY 22006 0.16164323 0.88612474 9.261475 50.771208
    Unten links KachelX 34453 KachelY + 1 22007 0.16154735 0.88606411 9.255981 50.767734
    Unten rechts KachelX + 1 34454 KachelY + 1 22007 0.16164323 0.88606411 9.261475 50.767734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88612474-0.88606411) × R
    6.0630000000006e-05 × 6371000     		dl = 386.273730000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88612474-0.88606411) × R
    6.0630000000006e-05 × 6371000     		dr = 386.273730000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16154735-0.16164323) × cos(0.88612474) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.632418647961062 × 6371000     		do = 386.313867086584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16154735-0.16164323) × cos(0.88606411) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.632465612420532 × 6371000     		du = 386.342555396159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88612474)-sin(0.88606411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632418647961062-0.632465612420532)×R²
    abs(0.16164323-0.16154735)×4.69644594701668e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69644594701668e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69644594701668e-05×40589641000000     		ar = 149228.439205789m²