Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34451 / 48349
↖ ↑ ↗
← S 64.692062°
E  9.244995°		 ← 261.13 m → S 64.692062°
E  9.250488°		 →
↑
261.08 m
↓
↑
261.08 m
↓
S 64.694410°
E  9.244995°		 ← 261.11 m →
68 173 m²		 S 64.694410°
E  9.250488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525688171386719 y=0.737754821777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525688171386719 × 216)
    floor (0.525688171386719 × 65536)
    floor (34451.5)     		tx = 34451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737754821777344 × 216)
    floor (0.737754821777344 × 65536)
    floor (48349.5)     		ty = 48349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34451 / 48349 ti = "16/34451/48349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34451/48349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34451 ÷ 216
    34451 ÷ 65536     		x = 0.525680541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48349 ÷ 216
    48349 ÷ 65536     		y = 0.737747192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525680541992188 × 2 - 1) × π
    0.051361083984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16135560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737747192382812 × 2 - 1) × π
    -0.475494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49380966596019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16135560} λ = 0.16135560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49380966596019))-π/2
    2×atan(0.224515694409558)-π/2
    2×0.220853425531552-π/2
    0.441706851063105-1.57079632675     		φ = -1.12908948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16135560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.244995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12908948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.692062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34451 KachelY 48349 0.16135560 -1.12908948 9.244995 -64.692062
    Oben rechts KachelX + 1 34452 KachelY 48349 0.16145148 -1.12908948 9.250488 -64.692062
    Unten links KachelX 34451 KachelY + 1 48350 0.16135560 -1.12913046 9.244995 -64.694410
    Unten rechts KachelX + 1 34452 KachelY + 1 48350 0.16145148 -1.12913046 9.250488 -64.694410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12908948--1.12913046) × R
    4.09800000000793e-05 × 6371000     		dl = 261.083580000505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12908948--1.12913046) × R
    4.09800000000793e-05 × 6371000     		dr = 261.083580000505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16135560-0.16145148) × cos(-1.12908948) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.427483116342612 × 6371000     		do = 261.128694292952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16135560-0.16145148) × cos(-1.12913046) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.427446069107517 × 6371000     		du = 261.106063934565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12908948)-sin(-1.12913046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427483116342612-0.427446069107517)×R²
    abs(0.16145148-0.16135560)×3.70472350941786e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.70472350941786e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.70472350941786e-05×40589641000000     		ar = 68173.4601488917m²