Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34450 / 34956
↖ ↑ ↗
← S 11.931852°
E  9.239502°		 ← 597.59 m → S 11.931852°
E  9.244995°		 →
↑
597.60 m
↓
↑
597.60 m
↓
S 11.937227°
E  9.239502°		 ← 597.58 m →
357 117 m²		 S 11.937227°
E  9.244995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525672912597656 y=0.533393859863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525672912597656 × 216)
    floor (0.525672912597656 × 65536)
    floor (34450.5)     		tx = 34450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533393859863281 × 216)
    floor (0.533393859863281 × 65536)
    floor (34956.5)     		ty = 34956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34450 / 34956 ti = "16/34450/34956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34450/34956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34450 ÷ 216
    34450 ÷ 65536     		x = 0.525665283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34956 ÷ 216
    34956 ÷ 65536     		y = 0.53338623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525665283203125 × 2 - 1) × π
    0.05133056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16125973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53338623046875 × 2 - 1) × π
    -0.0667724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.209771872737366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16125973} λ = 0.16125973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.209771872737366))-π/2
    2×atan(0.810769183429191)-π/2
    2×0.681273108916777-π/2
    1.36254621783355-1.57079632675     		φ = -0.20825011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16125973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.239502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20825011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.931852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34450 KachelY 34956 0.16125973 -0.20825011 9.239502 -11.931852
    Oben rechts KachelX + 1 34451 KachelY 34956 0.16135560 -0.20825011 9.244995 -11.931852
    Unten links KachelX 34450 KachelY + 1 34957 0.16125973 -0.20834391 9.239502 -11.937227
    Unten rechts KachelX + 1 34451 KachelY + 1 34957 0.16135560 -0.20834391 9.244995 -11.937227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20825011--0.20834391) × R
    9.3800000000005e-05 × 6371000     		dl = 597.599800000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20825011--0.20834391) × R
    9.3800000000005e-05 × 6371000     		dr = 597.599800000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16125973-0.16135560) × cos(-0.20825011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978394199010932 × 6371000     		do = 597.59121099481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16125973-0.16135560) × cos(-0.20834391) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978374801731722 × 6371000     		du = 597.579363373898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20825011)-sin(-0.20834391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978394199010932-0.978374801731722)×R²
    abs(0.16135560-0.16125973)×1.93972792095209e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.93972792095209e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.93972792095209e-05×40589641000000     		ar = 357116.848366168m²