Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34450 / 34916
↖ ↑ ↗
← S 11.716789°
E  9.239502°		 ← 598.06 m → S 11.716789°
E  9.244995°		 →
↑
598.05 m
↓
↑
598.05 m
↓
S 11.722167°
E  9.239502°		 ← 598.05 m →
357 664 m²		 S 11.722167°
E  9.244995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34916 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525672912597656 y=0.532783508300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525672912597656 × 216)
    floor (0.525672912597656 × 65536)
    floor (34450.5)     		tx = 34450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532783508300781 × 216)
    floor (0.532783508300781 × 65536)
    floor (34916.5)     		ty = 34916
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34450 / 34916 ti = "16/34450/34916"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34450/34916.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34450 ÷ 216
    34450 ÷ 65536     		x = 0.525665283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34916 ÷ 216
    34916 ÷ 65536     		y = 0.53277587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525665283203125 × 2 - 1) × π
    0.05133056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16125973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53277587890625 × 2 - 1) × π
    -0.0655517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.205936920767761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16125973} λ = 0.16125973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.205936920767761))-π/2
    2×atan(0.813884413867694)-π/2
    2×0.683149895817871-π/2
    1.36629979163574-1.57079632675     		φ = -0.20449654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16125973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.239502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20449654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.716789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34450 KachelY 34916 0.16125973 -0.20449654 9.239502 -11.716789
    Oben rechts KachelX + 1 34451 KachelY 34916 0.16135560 -0.20449654 9.244995 -11.716789
    Unten links KachelX 34450 KachelY + 1 34917 0.16125973 -0.20459041 9.239502 -11.722167
    Unten rechts KachelX + 1 34451 KachelY + 1 34917 0.16135560 -0.20459041 9.244995 -11.722167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20449654--0.20459041) × R
    9.38699999999959e-05 × 6371000     		dl = 598.045769999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20449654--0.20459041) × R
    9.38699999999959e-05 × 6371000     		dr = 598.045769999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16125973-0.16135560) × cos(-0.20449654) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979163348355245 × 6371000     		do = 598.06099800762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16125973-0.16135560) × cos(-0.20459041) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979144281464622 × 6371000     		du = 598.049352184016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20449654)-sin(-0.20459041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979163348355245-0.979144281464622)×R²
    abs(0.16135560-0.16125973)×1.90668906222546e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.90668906222546e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.90668906222546e-05×40589641000000     		ar = 357664.367955355m²