Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3445 / 1094
↖ ↑ ↗
← N 78.577907°
W 28.608399°		 ← 967.70 m → N 78.577907°
W 28.564453°		 →
↑
968.01 m
↓
↑
968.01 m
↓
N 78.569201°
W 28.608399°		 ← 968.43 m →
937 094 m²		 N 78.569201°
W 28.564453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.42059326171875 y=0.13360595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.42059326171875 × 213)
    floor (0.42059326171875 × 8192)
    floor (3445.5)     		tx = 3445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13360595703125 × 213)
    floor (0.13360595703125 × 8192)
    floor (1094.5)     		ty = 1094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3445 / 1094 ti = "13/3445/1094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3445/1094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3445 ÷ 213
    3445 ÷ 8192     		x = 0.4205322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1094 ÷ 213
    1094 ÷ 8192     		y = 0.133544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4205322265625 × 2 - 1) × π
    -0.158935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49931075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.133544921875 × 2 - 1) × π
    0.73291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.30250516255054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49931075} λ = -0.49931075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30250516255054))-π/2
    2×atan(9.99920072750844)-π/2
    2×1.47111976008841-π/2
    2.94223952017682-1.57079632675     		φ = 1.37144319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49931075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.608399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37144319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.577907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3445 KachelY 1094 -0.49931075 1.37144319 -28.608399 78.577907
    Oben rechts KachelX + 1 3446 KachelY 1094 -0.49854376 1.37144319 -28.564453 78.577907
    Unten links KachelX 3445 KachelY + 1 1095 -0.49931075 1.37129125 -28.608399 78.569201
    Unten rechts KachelX + 1 3446 KachelY + 1 1095 -0.49854376 1.37129125 -28.564453 78.569201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37144319-1.37129125) × R
    0.000151939999999851 × 6371000     		dl = 968.009739999048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37144319-1.37129125) × R
    0.000151939999999851 × 6371000     		dr = 968.009739999048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49931075--0.49854376) × cos(1.37144319) × R
    0.000766990000000023 × 0.198035320266714 × 6371000     		do = 967.69826366633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49931075--0.49854376) × cos(1.37129125) × R
    0.000766990000000023 × 0.198184248791019 × 6371000     		du = 968.426001901035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37144319)-sin(1.37129125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198035320266714-0.198184248791019)×R²
    abs(-0.49854376--0.49931075)×0.000148928524304787×R²
    0.000766990000000023×0.000148928524304787×6371000²
    0.000766990000000023×0.000148928524304787×40589641000000     		ar = 937093.575261518m²