Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34447 / 21774
↖ ↑ ↗
← N 51.570241°
E  9.223023°		 ← 379.64 m → N 51.570241°
E  9.228515°		 →
↑
379.65 m
↓
↑
379.65 m
↓
N 51.566827°
E  9.223023°		 ← 379.67 m →
144 134 m²		 N 51.566827°
E  9.228515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525627136230469 y=0.332252502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525627136230469 × 216)
    floor (0.525627136230469 × 65536)
    floor (34447.5)     		tx = 34447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332252502441406 × 216)
    floor (0.332252502441406 × 65536)
    floor (21774.5)     		ty = 21774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34447 / 21774 ti = "16/34447/21774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34447/21774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34447 ÷ 216
    34447 ÷ 65536     		x = 0.525619506835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21774 ÷ 216
    21774 ÷ 65536     		y = 0.332244873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525619506835938 × 2 - 1) × π
    0.051239013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16097211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332244873046875 × 2 - 1) × π
    0.33551025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05403654884579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16097211} λ = 0.16097211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05403654884579))-π/2
    2×atan(2.86920947863492)-π/2
    2×1.23543341802701-π/2
    2.47086683605402-1.57079632675     		φ = 0.90007051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16097211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.223023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90007051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.570241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34447 KachelY 21774 0.16097211 0.90007051 9.223023 51.570241
    Oben rechts KachelX + 1 34448 KachelY 21774 0.16106798 0.90007051 9.228515 51.570241
    Unten links KachelX 34447 KachelY + 1 21775 0.16097211 0.90001092 9.223023 51.566827
    Unten rechts KachelX + 1 34448 KachelY + 1 21775 0.16106798 0.90001092 9.228515 51.566827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90007051-0.90001092) × R
    5.95899999999983e-05 × 6371000     		dl = 379.647889999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90007051-0.90001092) × R
    5.95899999999983e-05 × 6371000     		dr = 379.647889999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16097211-0.16106798) × cos(0.90007051) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.621554734345096 × 6371000     		do = 379.638030123575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16097211-0.16106798) × cos(0.90001092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.621601414303749 × 6371000     		du = 379.666541671425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90007051)-sin(0.90001092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621554734345096-0.621601414303749)×R²
    abs(0.16106798-0.16097211)×4.66799586534838e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66799586534838e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66799586534838e-05×40589641000000     		ar = 144134.189317307m²