Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34446 / 32398
↖ ↑ ↗
← N  2.032045°
E  9.217530°		 ← 610.40 m → N  2.032045°
E  9.223023°		 →
↑
610.47 m
↓
↑
610.47 m
↓
N  2.026555°
E  9.217530°		 ← 610.41 m →
372 633 m²		 N  2.026555°
E  9.223023°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34446 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525611877441406 y=0.494361877441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525611877441406 × 216)
    floor (0.525611877441406 × 65536)
    floor (34446.5)     		tx = 34446
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494361877441406 × 216)
    floor (0.494361877441406 × 65536)
    floor (32398.5)     		ty = 32398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34446 / 32398 ti = "16/34446/32398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34446/32398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34446 ÷ 216
    34446 ÷ 65536     		x = 0.525604248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32398 ÷ 216
    32398 ÷ 65536     		y = 0.494354248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525604248046875 × 2 - 1) × π
    0.05120849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16087624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494354248046875 × 2 - 1) × π
    0.01129150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0354733057188416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16087624} λ = 0.16087624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0354733057188416))-π/2
    2×atan(1.03610998954753)-π/2
    2×0.803131097591121-π/2
    1.60626219518224-1.57079632675     		φ = 0.03546587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16087624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.217530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03546587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.032045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34446 KachelY 32398 0.16087624 0.03546587 9.217530 2.032045
    Oben rechts KachelX + 1 34447 KachelY 32398 0.16097211 0.03546587 9.223023 2.032045
    Unten links KachelX 34446 KachelY + 1 32399 0.16087624 0.03537005 9.217530 2.026555
    Unten rechts KachelX + 1 34447 KachelY + 1 32399 0.16097211 0.03537005 9.223023 2.026555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03546587-0.03537005) × R
    9.58199999999965e-05 × 6371000     		dl = 610.469219999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03546587-0.03537005) × R
    9.58199999999965e-05 × 6371000     		dr = 610.469219999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16087624-0.16097211) × cos(0.03546587) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999371151951937 × 6371000     		do = 610.403677303042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16087624-0.16097211) × cos(0.03537005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99937454499137 × 6371000     		du = 610.40574973003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03546587)-sin(0.03537005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999371151951937-0.99937454499137)×R²
    abs(0.16097211-0.16087624)×3.39303943264202e-06×R²
    9.58699999999979e-05×3.39303943264202e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.39303943264202e-06×40589641000000     		ar = 372633.289629865m²