Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34445 / 36501
↖ ↑ ↗
← S 20.081730°
E  9.212036°		 ← 573.71 m → S 20.081730°
E  9.217530°		 →
↑
573.64 m
↓
↑
573.64 m
↓
S 20.086888°
E  9.212036°		 ← 573.70 m →
329 103 m²		 S 20.086888°
E  9.217530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525596618652344 y=0.556968688964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525596618652344 × 216)
    floor (0.525596618652344 × 65536)
    floor (34445.5)     		tx = 34445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556968688964844 × 216)
    floor (0.556968688964844 × 65536)
    floor (36501.5)     		ty = 36501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34445 / 36501 ti = "16/34445/36501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34445/36501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34445 ÷ 216
    34445 ÷ 65536     		x = 0.525588989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36501 ÷ 216
    36501 ÷ 65536     		y = 0.556961059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525588989257812 × 2 - 1) × π
    0.051177978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16078036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556961059570312 × 2 - 1) × π
    -0.113922119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.357896892563339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16078036} λ = 0.16078036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.357896892563339))-π/2
    2×atan(0.699145158355429)-π/2
    2×0.610152014727494-π/2
    1.22030402945499-1.57079632675     		φ = -0.35049230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16078036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.212036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35049230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.081730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34445 KachelY 36501 0.16078036 -0.35049230 9.212036 -20.081730
    Oben rechts KachelX + 1 34446 KachelY 36501 0.16087624 -0.35049230 9.217530 -20.081730
    Unten links KachelX 34445 KachelY + 1 36502 0.16078036 -0.35058234 9.212036 -20.086888
    Unten rechts KachelX + 1 34446 KachelY + 1 36502 0.16087624 -0.35058234 9.217530 -20.086888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35049230--0.35058234) × R
    9.00400000000134e-05 × 6371000     		dl = 573.644840000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35049230--0.35058234) × R
    9.00400000000134e-05 × 6371000     		dr = 573.644840000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16078036-0.16087624) × cos(-0.35049230) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.939203790430738 × 6371000     		do = 573.714025406182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16078036-0.16087624) × cos(-0.35058234) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.939172870469497 × 6371000     		du = 573.695137902097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35049230)-sin(-0.35058234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939203790430738-0.939172870469497)×R²
    abs(0.16087624-0.16078036)×3.09199612406053e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.09199612406053e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.09199612406053e-05×40589641000000     		ar = 329102.673172573m²