Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34445 / 32363
↖ ↑ ↗
← N  2.224173°
E  9.212036°		 ← 610.39 m → N  2.224173°
E  9.217530°		 →
↑
610.41 m
↓
↑
610.41 m
↓
N  2.218683°
E  9.212036°		 ← 610.39 m →
372 587 m²		 N  2.218683°
E  9.217530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525596618652344 y=0.493827819824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525596618652344 × 216)
    floor (0.525596618652344 × 65536)
    floor (34445.5)     		tx = 34445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.493827819824219 × 216)
    floor (0.493827819824219 × 65536)
    floor (32363.5)     		ty = 32363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34445 / 32363 ti = "16/34445/32363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34445/32363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34445 ÷ 216
    34445 ÷ 65536     		x = 0.525588989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32363 ÷ 216
    32363 ÷ 65536     		y = 0.493820190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525588989257812 × 2 - 1) × π
    0.051177978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16078036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.493820190429688 × 2 - 1) × π
    0.012359619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0388288886922455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16078036} λ = 0.16078036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0388288886922455))-π/2
    2×atan(1.03959258238383)-π/2
    2×0.804807731111584-π/2
    1.60961546222317-1.57079632675     		φ = 0.03881914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16078036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.212036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03881914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.224173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34445 KachelY 32363 0.16078036 0.03881914 9.212036 2.224173
    Oben rechts KachelX + 1 34446 KachelY 32363 0.16087624 0.03881914 9.217530 2.224173
    Unten links KachelX 34445 KachelY + 1 32364 0.16078036 0.03872333 9.212036 2.218683
    Unten rechts KachelX + 1 34446 KachelY + 1 32364 0.16087624 0.03872333 9.217530 2.218683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03881914-0.03872333) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dl = 610.405510000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03881914-0.03872333) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dr = 610.405510000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16078036-0.16087624) × cos(0.03881914) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.99924663179778 × 6371000     		do = 610.391283918642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16078036-0.16087624) × cos(0.03872333) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999250345539219 × 6371000     		du = 610.393552463097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03881914)-sin(0.03872333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99924663179778-0.999250345539219)×R²
    abs(0.16087624-0.16078036)×3.71374143925962e-06×R²
    9.58799999999926e-05×3.71374143925962e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.71374143925962e-06×40589641000000     		ar = 372586.895610944m²