Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34445 / 32361
↖ ↑ ↗
← N  2.235151°
E  9.212036°		 ← 610.39 m → N  2.235151°
E  9.217530°		 →
↑
610.34 m
↓
↑
610.34 m
↓
N  2.229662°
E  9.212036°		 ← 610.39 m →
372 545 m²		 N  2.229662°
E  9.217530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525596618652344 y=0.493797302246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525596618652344 × 216)
    floor (0.525596618652344 × 65536)
    floor (34445.5)     		tx = 34445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.493797302246094 × 216)
    floor (0.493797302246094 × 65536)
    floor (32361.5)     		ty = 32361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34445 / 32361 ti = "16/34445/32361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34445/32361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34445 ÷ 216
    34445 ÷ 65536     		x = 0.525588989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32361 ÷ 216
    32361 ÷ 65536     		y = 0.493789672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525588989257812 × 2 - 1) × π
    0.051177978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16078036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.493789672851562 × 2 - 1) × π
    0.012420654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0390206362907257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16078036} λ = 0.16078036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0390206362907257))-π/2
    2×atan(1.03979194087754)-π/2
    2×0.804903532325525-π/2
    1.60980706465105-1.57079632675     		φ = 0.03901074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16078036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.212036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03901074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.235151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34445 KachelY 32361 0.16078036 0.03901074 9.212036 2.235151
    Oben rechts KachelX + 1 34446 KachelY 32361 0.16087624 0.03901074 9.217530 2.235151
    Unten links KachelX 34445 KachelY + 1 32362 0.16078036 0.03891494 9.212036 2.229662
    Unten rechts KachelX + 1 34446 KachelY + 1 32362 0.16087624 0.03891494 9.217530 2.229662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03901074-0.03891494) × R
    9.58000000000001e-05 × 6371000     		dl = 610.3418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03901074-0.03891494) × R
    9.58000000000001e-05 × 6371000     		dr = 610.3418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16078036-0.16087624) × cos(0.03901074) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999239177577031 × 6371000     		do = 610.386730496865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16078036-0.16087624) × cos(0.03891494) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999242909272751 × 6371000     		du = 610.389010008719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03901074)-sin(0.03891494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999239177577031-0.999242909272751)×R²
    abs(0.16087624-0.16078036)×3.7316957203215e-06×R²
    9.58799999999926e-05×3.7316957203215e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.7316957203215e-06×40589641000000     		ar = 372545.231713183m²