Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34445 / 32360
↖ ↑ ↗
← N  2.240640°
E  9.212036°		 ← 610.38 m → N  2.240640°
E  9.217530°		 →
↑
610.34 m
↓
↑
610.34 m
↓
N  2.235151°
E  9.212036°		 ← 610.39 m →
372 544 m²		 N  2.235151°
E  9.217530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525596618652344 y=0.493782043457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525596618652344 × 216)
    floor (0.525596618652344 × 65536)
    floor (34445.5)     		tx = 34445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.493782043457031 × 216)
    floor (0.493782043457031 × 65536)
    floor (32360.5)     		ty = 32360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34445 / 32360 ti = "16/34445/32360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34445/32360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34445 ÷ 216
    34445 ÷ 65536     		x = 0.525588989257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32360 ÷ 216
    32360 ÷ 65536     		y = 0.4937744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525588989257812 × 2 - 1) × π
    0.051177978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16078036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4937744140625 × 2 - 1) × π
    0.012451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0391165100899658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16078036} λ = 0.16078036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0391165100899658))-π/2
    2×atan(1.03989163446026)-π/2
    2×0.804951432664054-π/2
    1.60990286532811-1.57079632675     		φ = 0.03910654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16078036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.212036°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03910654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.240640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34445 KachelY 32360 0.16078036 0.03910654 9.212036 2.240640
    Oben rechts KachelX + 1 34446 KachelY 32360 0.16087624 0.03910654 9.217530 2.240640
    Unten links KachelX 34445 KachelY + 1 32361 0.16078036 0.03901074 9.212036 2.235151
    Unten rechts KachelX + 1 34446 KachelY + 1 32361 0.16087624 0.03901074 9.217530 2.235151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03910654-0.03901074) × R
    9.58000000000001e-05 × 6371000     		dl = 610.3418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03910654-0.03901074) × R
    9.58000000000001e-05 × 6371000     		dr = 610.3418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16078036-0.16087624) × cos(0.03910654) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999235436710653 × 6371000     		do = 610.384445383102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16078036-0.16087624) × cos(0.03901074) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999239177577031 × 6371000     		du = 610.386730496865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03910654)-sin(0.03901074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999235436710653-0.999239177577031)×R²
    abs(0.16087624-0.16078036)×3.74086637766613e-06×R²
    9.58799999999926e-05×3.74086637766613e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.74086637766613e-06×40589641000000     		ar = 372543.838722255m²