Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34444 / 36500
↖ ↑ ↗
← S 20.076570°
E  9.206543°		 ← 573.67 m → S 20.076570°
E  9.212036°		 →
↑
573.71 m
↓
↑
573.71 m
↓
S 20.081730°
E  9.206543°		 ← 573.65 m →
329 116 m²		 S 20.081730°
E  9.212036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34444 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525581359863281 y=0.556953430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525581359863281 × 216)
    floor (0.525581359863281 × 65536)
    floor (34444.5)     		tx = 34444
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556953430175781 × 216)
    floor (0.556953430175781 × 65536)
    floor (36500.5)     		ty = 36500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34444 / 36500 ti = "16/34444/36500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34444/36500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34444 ÷ 216
    34444 ÷ 65536     		x = 0.52557373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36500 ÷ 216
    36500 ÷ 65536     		y = 0.55694580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52557373046875 × 2 - 1) × π
    0.0511474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16068449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55694580078125 × 2 - 1) × π
    -0.1138916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.357801018764099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16068449} λ = 0.16068449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.357801018764099))-π/2
    2×atan(0.69921219127128)-π/2
    2×0.610197037986363-π/2
    1.22039407597273-1.57079632675     		φ = -0.35040225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16068449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.206543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35040225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.076570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34444 KachelY 36500 0.16068449 -0.35040225 9.206543 -20.076570
    Oben rechts KachelX + 1 34445 KachelY 36500 0.16078036 -0.35040225 9.212036 -20.076570
    Unten links KachelX 34444 KachelY + 1 36501 0.16068449 -0.35049230 9.206543 -20.081730
    Unten rechts KachelX + 1 34445 KachelY + 1 36501 0.16078036 -0.35049230 9.212036 -20.081730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35040225--0.35049230) × R
    9.00499999999527e-05 × 6371000     		dl = 573.708549999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35040225--0.35049230) × R
    9.00499999999527e-05 × 6371000     		dr = 573.708549999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16068449-0.16078036) × cos(-0.35040225) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.93923470621042 × 6371000     		do = 573.673071712855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16068449-0.16078036) × cos(-0.35049230) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.939203790430738 × 6371000     		du = 573.654188732725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35040225)-sin(-0.35049230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93923470621042-0.939203790430738)×R²
    abs(0.16078036-0.16068449)×3.09157796826165e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09157796826165e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09157796826165e-05×40589641000000     		ar = 329115.729705038m²