Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34443 / 22311
↖ ↑ ↗
← N 49.699615°
E  9.201050°		 ← 395.10 m → N 49.699615°
E  9.206543°		 →
↑
395.13 m
↓
↑
395.13 m
↓
N 49.696062°
E  9.201050°		 ← 395.12 m →
156 120 m²		 N 49.696062°
E  9.206543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525566101074219 y=0.340446472167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525566101074219 × 216)
    floor (0.525566101074219 × 65536)
    floor (34443.5)     		tx = 34443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340446472167969 × 216)
    floor (0.340446472167969 × 65536)
    floor (22311.5)     		ty = 22311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34443 / 22311 ti = "16/34443/22311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34443/22311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34443 ÷ 216
    34443 ÷ 65536     		x = 0.525558471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22311 ÷ 216
    22311 ÷ 65536     		y = 0.340438842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525558471679688 × 2 - 1) × π
    0.051116943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16058861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340438842773438 × 2 - 1) × π
    0.319122314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00255231865385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16058861} λ = 0.16058861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00255231865385))-π/2
    2×atan(2.72522861130684)-π/2
    2×1.21910912187331-π/2
    2.43821824374661-1.57079632675     		φ = 0.86742192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16058861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.201050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86742192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.699615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34443 KachelY 22311 0.16058861 0.86742192 9.201050 49.699615
    Oben rechts KachelX + 1 34444 KachelY 22311 0.16068449 0.86742192 9.206543 49.699615
    Unten links KachelX 34443 KachelY + 1 22312 0.16058861 0.86735990 9.201050 49.696062
    Unten rechts KachelX + 1 34444 KachelY + 1 22312 0.16068449 0.86735990 9.206543 49.696062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86742192-0.86735990) × R
    6.2019999999996e-05 × 6371000     		dl = 395.129419999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86742192-0.86735990) × R
    6.2019999999996e-05 × 6371000     		dr = 395.129419999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16058861-0.16068449) × cos(0.86742192) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.646794903285644 × 6371000     		do = 395.095623928576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16058861-0.16068449) × cos(0.86735990) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.646842202461983 × 6371000     		du = 395.124516700446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86742192)-sin(0.86735990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646794903285644-0.646842202461983)×R²
    abs(0.16068449-0.16058861)×4.72991763394992e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.72991763394992e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.72991763394992e-05×40589641000000     		ar = 156119.612969478m²