Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 34441 / 9847
↖ ↑ ↗
← N 82.073438°
W 85.404968°		 ← 42.11 m → N 82.073438°
W 85.402222°		 →
↑
42.11 m
↓
↑
42.11 m
↓
N 82.073059°
W 85.404968°		 ← 42.11 m →
1 773 m²		 N 82.073059°
W 85.402222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.262767791748047 y=0.0751304626464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.262767791748047 × 217)
    floor (0.262767791748047 × 131072)
    floor (34441.5)     		tx = 34441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0751304626464844 × 217)
    floor (0.0751304626464844 × 131072)
    floor (9847.5)     		ty = 9847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34441 / 9847 ti = "17/34441/9847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34441/9847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34441 ÷ 217
    34441 ÷ 131072     		x = 0.262763977050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9847 ÷ 217
    9847 ÷ 131072     		y = 0.0751266479492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.262763977050781 × 2 - 1) × π
    -0.474472045898438 × 3.1415926535     		Λ = -1.49059789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0751266479492188 × 2 - 1) × π
    0.849746704101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.66955800294131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.49059789} λ = -1.49059789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66955800294131))-π/2
    2×atan(14.4335881791906)-π/2
    2×1.50162402239558-π/2
    3.00324804479117-1.57079632675     		φ = 1.43245172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.49059789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.404968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43245172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.073438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34441 KachelY 9847 -1.49059789 1.43245172 -85.404968 82.073438
    Oben rechts KachelX + 1 34442 KachelY 9847 -1.49054996 1.43245172 -85.402222 82.073438
    Unten links KachelX 34441 KachelY + 1 9848 -1.49059789 1.43244511 -85.404968 82.073059
    Unten rechts KachelX + 1 34442 KachelY + 1 9848 -1.49054996 1.43244511 -85.402222 82.073059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43245172-1.43244511) × R
    6.61000000001799e-06 × 6371000     		dl = 42.1123100001146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43245172-1.43244511) × R
    6.61000000001799e-06 × 6371000     		dr = 42.1123100001146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.49059789--1.49054996) × cos(1.43245172) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.137903727364362 × 6371000     		do = 42.1105621325739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.49059789--1.49054996) × cos(1.43244511) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.137910274207017 × 6371000     		du = 42.1125612897371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43245172)-sin(1.43244511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137903727364362-0.137910274207017)×R²
    abs(-1.49054996--1.49059789)×6.54684265496974e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.54684265496974e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.54684265496974e-06×40589641000000     		ar = 1773.41514128443m²