Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34441 / 34937
↖ ↑ ↗
← S 11.829718°
E  9.190064°		 ← 597.82 m → S 11.829718°
E  9.195557°		 →
↑
597.85 m
↓
↑
597.85 m
↓
S 11.835095°
E  9.190064°		 ← 597.80 m →
357 403 m²		 S 11.835095°
E  9.195557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525535583496094 y=0.533103942871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525535583496094 × 216)
    floor (0.525535583496094 × 65536)
    floor (34441.5)     		tx = 34441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533103942871094 × 216)
    floor (0.533103942871094 × 65536)
    floor (34937.5)     		ty = 34937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34441 / 34937 ti = "16/34441/34937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34441/34937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34441 ÷ 216
    34441 ÷ 65536     		x = 0.525527954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34937 ÷ 216
    34937 ÷ 65536     		y = 0.533096313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525527954101562 × 2 - 1) × π
    0.051055908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16039687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.533096313476562 × 2 - 1) × π
    -0.066192626953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.207950270551804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16039687} λ = 0.16039687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.207950270551804))-π/2
    2×atan(0.812247428324014)-π/2
    2×0.682164398775783-π/2
    1.36432879755157-1.57079632675     		φ = -0.20646753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16039687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.190064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20646753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.829718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34441 KachelY 34937 0.16039687 -0.20646753 9.190064 -11.829718
    Oben rechts KachelX + 1 34442 KachelY 34937 0.16049274 -0.20646753 9.195557 -11.829718
    Unten links KachelX 34441 KachelY + 1 34938 0.16039687 -0.20656137 9.190064 -11.835095
    Unten rechts KachelX + 1 34442 KachelY + 1 34938 0.16049274 -0.20656137 9.195557 -11.835095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20646753--0.20656137) × R
    9.38399999999839e-05 × 6371000     		dl = 597.854639999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20646753--0.20656137) × R
    9.38399999999839e-05 × 6371000     		dr = 597.854639999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16039687-0.16049274) × cos(-0.20646753) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978761189438195 × 6371000     		do = 597.815364259489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16039687-0.16049274) × cos(-0.20656137) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.978741947577657 × 6371000     		du = 597.803611566401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20646753)-sin(-0.20656137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978761189438195-0.978741947577657)×R²
    abs(0.16049274-0.16039687)×1.92418605376998e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.92418605376998e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.92418605376998e-05×40589641000000     		ar = 357403.17644703m²