Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34441 / 32439
↖ ↑ ↗
← N  1.806951°
E  9.190064°		 ← 610.48 m → N  1.806951°
E  9.195557°		 →
↑
610.53 m
↓
↑
610.53 m
↓
N  1.801461°
E  9.190064°		 ← 610.49 m →
372 721 m²		 N  1.801461°
E  9.195557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525535583496094 y=0.494987487792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525535583496094 × 216)
    floor (0.525535583496094 × 65536)
    floor (34441.5)     		tx = 34441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494987487792969 × 216)
    floor (0.494987487792969 × 65536)
    floor (32439.5)     		ty = 32439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34441 / 32439 ti = "16/34441/32439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34441/32439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34441 ÷ 216
    34441 ÷ 65536     		x = 0.525527954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32439 ÷ 216
    32439 ÷ 65536     		y = 0.494979858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525527954101562 × 2 - 1) × π
    0.051055908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16039687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494979858398438 × 2 - 1) × π
    0.010040283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0315424799499969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16039687} λ = 0.16039687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0315424799499969))-π/2
    2×atan(1.03204521589364)-π/2
    2×0.801166788814595-π/2
    1.60233357762919-1.57079632675     		φ = 0.03153725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16039687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.190064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03153725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.806951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34441 KachelY 32439 0.16039687 0.03153725 9.190064 1.806951
    Oben rechts KachelX + 1 34442 KachelY 32439 0.16049274 0.03153725 9.195557 1.806951
    Unten links KachelX 34441 KachelY + 1 32440 0.16039687 0.03144142 9.190064 1.801461
    Unten rechts KachelX + 1 34442 KachelY + 1 32440 0.16049274 0.03144142 9.195557 1.801461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03153725-0.03144142) × R
    9.58300000000051e-05 × 6371000     		dl = 610.532930000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03153725-0.03144142) × R
    9.58300000000051e-05 × 6371000     		dr = 610.532930000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16039687-0.16049274) × cos(0.03153725) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99950274214758 × 6371000     		do = 610.484050985192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16039687-0.16049274) × cos(0.03144142) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999505759271875 × 6371000     		du = 610.485893807812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03153725)-sin(0.03144142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99950274214758-0.999505759271875)×R²
    abs(0.16049274-0.16039687)×3.01712429506829e-06×R²
    9.58699999999979e-05×3.01712429506829e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01712429506829e-06×40589641000000     		ar = 372721.17920348m²