Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34441 / 32391
↖ ↑ ↗
← N  2.070472°
E  9.190064°		 ← 610.39 m → N  2.070472°
E  9.195557°		 →
↑
610.41 m
↓
↑
610.41 m
↓
N  2.064982°
E  9.190064°		 ← 610.39 m →
372 585 m²		 N  2.064982°
E  9.195557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525535583496094 y=0.494255065917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525535583496094 × 216)
    floor (0.525535583496094 × 65536)
    floor (34441.5)     		tx = 34441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494255065917969 × 216)
    floor (0.494255065917969 × 65536)
    floor (32391.5)     		ty = 32391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34441 / 32391 ti = "16/34441/32391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34441/32391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34441 ÷ 216
    34441 ÷ 65536     		x = 0.525527954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32391 ÷ 216
    32391 ÷ 65536     		y = 0.494247436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525527954101562 × 2 - 1) × π
    0.051055908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16039687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494247436523438 × 2 - 1) × π
    0.011505126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0361444223135223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16039687} λ = 0.16039687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0361444223135223))-π/2
    2×atan(1.0368055735383)-π/2
    2×0.803466440858105-π/2
    1.60693288171621-1.57079632675     		φ = 0.03613655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16039687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.190064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03613655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.070472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34441 KachelY 32391 0.16039687 0.03613655 9.190064 2.070472
    Oben rechts KachelX + 1 34442 KachelY 32391 0.16049274 0.03613655 9.195557 2.070472
    Unten links KachelX 34441 KachelY + 1 32392 0.16039687 0.03604074 9.190064 2.064982
    Unten rechts KachelX + 1 34442 KachelY + 1 32392 0.16049274 0.03604074 9.195557 2.064982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03613655-0.03604074) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dl = 610.405510000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03613655-0.03604074) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dr = 610.405510000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16039687-0.16049274) × cos(0.03613655) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999347145925825 × 6371000     		do = 610.389014715886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16039687-0.16049274) × cos(0.03604074) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999350602828415 × 6371000     		du = 610.39112614971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03613655)-sin(0.03604074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999347145925825-0.999350602828415)×R²
    abs(0.16049274-0.16039687)×3.4569025894049e-06×R²
    9.58699999999979e-05×3.4569025894049e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.4569025894049e-06×40589641000000     		ar = 372585.462526487m²