Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34440 / 32393
↖ ↑ ↗
← N  2.059493°
E  9.184570°		 ← 610.46 m → N  2.059493°
E  9.190064°		 →
↑
610.41 m
↓
↑
610.41 m
↓
N  2.054003°
E  9.184570°		 ← 610.46 m →
372 627 m²		 N  2.054003°
E  9.190064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525520324707031 y=0.494285583496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525520324707031 × 216)
    floor (0.525520324707031 × 65536)
    floor (34440.5)     		tx = 34440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494285583496094 × 216)
    floor (0.494285583496094 × 65536)
    floor (32393.5)     		ty = 32393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34440 / 32393 ti = "16/34440/32393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34440/32393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34440 ÷ 216
    34440 ÷ 65536     		x = 0.5255126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32393 ÷ 216
    32393 ÷ 65536     		y = 0.494277954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5255126953125 × 2 - 1) × π
    0.051025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16030099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494277954101562 × 2 - 1) × π
    0.011444091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0359526747150421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16030099} λ = 0.16030099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0359526747150421))-π/2
    2×atan(1.03660678761846)-π/2
    2×0.803370629319197-π/2
    1.60674125863839-1.57079632675     		φ = 0.03594493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16030099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.184570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03594493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.059493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34440 KachelY 32393 0.16030099 0.03594493 9.184570 2.059493
    Oben rechts KachelX + 1 34441 KachelY 32393 0.16039687 0.03594493 9.190064 2.059493
    Unten links KachelX 34440 KachelY + 1 32394 0.16030099 0.03584912 9.184570 2.054003
    Unten rechts KachelX + 1 34441 KachelY + 1 32394 0.16039687 0.03584912 9.190064 2.054003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03594493-0.03584912) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dl = 610.405510000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03594493-0.03584912) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dr = 610.405510000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16030099-0.16039687) × cos(0.03594493) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999354050557409 × 6371000     		do = 610.456900826941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16030099-0.16039687) × cos(0.03584912) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999357489112777 × 6371000     		du = 610.459001273577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03594493)-sin(0.03584912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999354050557409-0.999357489112777)×R²
    abs(0.16039687-0.16030099)×3.43855536788507e-06×R²
    9.58799999999926e-05×3.43855536788507e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.43855536788507e-06×40589641000000     		ar = 372626.897229418m²