Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34440 / 21731
↖ ↑ ↗
← N 51.716820°
E  9.184570°		 ← 378.45 m → N 51.716820°
E  9.190064°		 →
↑
378.44 m
↓
↑
378.44 m
↓
N 51.713416°
E  9.184570°		 ← 378.48 m →
143 226 m²		 N 51.713416°
E  9.190064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525520324707031 y=0.331596374511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525520324707031 × 216)
    floor (0.525520324707031 × 65536)
    floor (34440.5)     		tx = 34440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331596374511719 × 216)
    floor (0.331596374511719 × 65536)
    floor (21731.5)     		ty = 21731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34440 / 21731 ti = "16/34440/21731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34440/21731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34440 ÷ 216
    34440 ÷ 65536     		x = 0.5255126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21731 ÷ 216
    21731 ÷ 65536     		y = 0.331588745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5255126953125 × 2 - 1) × π
    0.051025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16030099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331588745117188 × 2 - 1) × π
    0.336822509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05815912221312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16030099} λ = 0.16030099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05815912221312))-π/2
    2×atan(2.88106242074121)-π/2
    2×1.2367125525303-π/2
    2.47342510506061-1.57079632675     		φ = 0.90262878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16030099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.184570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90262878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.716820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34440 KachelY 21731 0.16030099 0.90262878 9.184570 51.716820
    Oben rechts KachelX + 1 34441 KachelY 21731 0.16039687 0.90262878 9.190064 51.716820
    Unten links KachelX 34440 KachelY + 1 21732 0.16030099 0.90256938 9.184570 51.713416
    Unten rechts KachelX + 1 34441 KachelY + 1 21732 0.16039687 0.90256938 9.190064 51.713416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90262878-0.90256938) × R
    5.94000000000428e-05 × 6371000     		dl = 378.437400000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90262878-0.90256938) × R
    5.94000000000428e-05 × 6371000     		dr = 378.437400000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16030099-0.16039687) × cos(0.90262878) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.619548628717122 × 6371000     		do = 378.452196783795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16030099-0.16039687) × cos(0.90256938) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.619595254145754 × 6371000     		du = 378.480677995881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90262878)-sin(0.90256938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619548628717122-0.619595254145754)×R²
    abs(0.16039687-0.16030099)×4.66254286319856e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.66254286319856e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.66254286319856e-05×40589641000000     		ar = 143225.85459511m²