Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34439 / 36241
↖ ↑ ↗
← S 18.734704°
E  9.179077°		 ← 578.43 m → S 18.734704°
E  9.184570°		 →
↑
578.49 m
↓
↑
578.49 m
↓
S 18.739907°
E  9.179077°		 ← 578.41 m →
334 606 m²		 S 18.739907°
E  9.184570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525505065917969 y=0.553001403808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525505065917969 × 216)
    floor (0.525505065917969 × 65536)
    floor (34439.5)     		tx = 34439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553001403808594 × 216)
    floor (0.553001403808594 × 65536)
    floor (36241.5)     		ty = 36241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34439 / 36241 ti = "16/34439/36241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34439/36241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34439 ÷ 216
    34439 ÷ 65536     		x = 0.525497436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36241 ÷ 216
    36241 ÷ 65536     		y = 0.552993774414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525497436523438 × 2 - 1) × π
    0.050994873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16020512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552993774414062 × 2 - 1) × π
    -0.105987548828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.33296970476091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16020512} λ = 0.16020512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.33296970476091))-π/2
    2×atan(0.716791909209033)-π/2
    2×0.621907027125193-π/2
    1.24381405425039-1.57079632675     		φ = -0.32698227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16020512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.179077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32698227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.734704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34439 KachelY 36241 0.16020512 -0.32698227 9.179077 -18.734704
    Oben rechts KachelX + 1 34440 KachelY 36241 0.16030099 -0.32698227 9.184570 -18.734704
    Unten links KachelX 34439 KachelY + 1 36242 0.16020512 -0.32707307 9.179077 -18.739907
    Unten rechts KachelX + 1 34440 KachelY + 1 36242 0.16030099 -0.32707307 9.184570 -18.739907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32698227--0.32707307) × R
    9.0800000000002e-05 × 6371000     		dl = 578.486800000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32698227--0.32707307) × R
    9.0800000000002e-05 × 6371000     		dr = 578.486800000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16020512-0.16030099) × cos(-0.32698227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.9470159087563 × 6371000     		do = 578.425735063772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16020512-0.16030099) × cos(-0.32707307) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.946986741103993 × 6371000     		du = 578.407919818462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32698227)-sin(-0.32707307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9470159087563-0.946986741103993)×R²
    abs(0.16030099-0.16020512)×2.9167652307871e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9167652307871e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9167652307871e-05×40589641000000     		ar = 334606.49980241m²