Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34439 / 34920
↖ ↑ ↗
← S 11.738302°
E  9.179077°		 ← 598.01 m → S 11.738302°
E  9.184570°		 →
↑
598.05 m
↓
↑
598.05 m
↓
S 11.743680°
E  9.179077°		 ← 598 m →
357 636 m²		 S 11.743680°
E  9.184570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525505065917969 y=0.532844543457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525505065917969 × 216)
    floor (0.525505065917969 × 65536)
    floor (34439.5)     		tx = 34439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532844543457031 × 216)
    floor (0.532844543457031 × 65536)
    floor (34920.5)     		ty = 34920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34439 / 34920 ti = "16/34439/34920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34439/34920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34439 ÷ 216
    34439 ÷ 65536     		x = 0.525497436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34920 ÷ 216
    34920 ÷ 65536     		y = 0.5328369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525497436523438 × 2 - 1) × π
    0.050994873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16020512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5328369140625 × 2 - 1) × π
    -0.065673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.206320415964722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16020512} λ = 0.16020512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.206320415964722))-π/2
    2×atan(0.813572352944852)-π/2
    2×0.68296215091222-π/2
    1.36592430182444-1.57079632675     		φ = -0.20487202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16020512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.179077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20487202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.738302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34439 KachelY 34920 0.16020512 -0.20487202 9.179077 -11.738302
    Oben rechts KachelX + 1 34440 KachelY 34920 0.16030099 -0.20487202 9.184570 -11.738302
    Unten links KachelX 34439 KachelY + 1 34921 0.16020512 -0.20496589 9.179077 -11.743680
    Unten rechts KachelX + 1 34440 KachelY + 1 34921 0.16030099 -0.20496589 9.184570 -11.743680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20487202--0.20496589) × R
    9.38700000000237e-05 × 6371000     		dl = 598.045770000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20487202--0.20496589) × R
    9.38700000000237e-05 × 6371000     		dr = 598.045770000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16020512-0.16030099) × cos(-0.20487202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979087029026597 × 6371000     		do = 598.014383095067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16020512-0.16030099) × cos(-0.20496589) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979067927625763 × 6371000     		du = 598.002716193048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20487202)-sin(-0.20496589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979087029026597-0.979067927625763)×R²
    abs(0.16030099-0.16020512)×1.9101400833943e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.9101400833943e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.9101400833943e-05×40589641000000     		ar = 357636.483801203m²