Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34439 / 22334
↖ ↑ ↗
← N 49.617828°
E  9.179077°		 ← 395.72 m → N 49.617828°
E  9.184570°		 →
↑
395.77 m
↓
↑
395.77 m
↓
N 49.614269°
E  9.179077°		 ← 395.75 m →
156 618 m²		 N 49.614269°
E  9.184570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525505065917969 y=0.340797424316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525505065917969 × 216)
    floor (0.525505065917969 × 65536)
    floor (34439.5)     		tx = 34439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340797424316406 × 216)
    floor (0.340797424316406 × 65536)
    floor (22334.5)     		ty = 22334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34439 / 22334 ti = "16/34439/22334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34439/22334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34439 ÷ 216
    34439 ÷ 65536     		x = 0.525497436523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22334 ÷ 216
    22334 ÷ 65536     		y = 0.340789794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525497436523438 × 2 - 1) × π
    0.050994873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16020512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340789794921875 × 2 - 1) × π
    0.31842041015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00034722127133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16020512} λ = 0.16020512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00034722127133))-π/2
    2×atan(2.71922583761191)-π/2
    2×1.21839539925599-π/2
    2.43679079851197-1.57079632675     		φ = 0.86599447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16020512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.179077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86599447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.617828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34439 KachelY 22334 0.16020512 0.86599447 9.179077 49.617828
    Oben rechts KachelX + 1 34440 KachelY 22334 0.16030099 0.86599447 9.184570 49.617828
    Unten links KachelX 34439 KachelY + 1 22335 0.16020512 0.86593235 9.179077 49.614269
    Unten rechts KachelX + 1 34440 KachelY + 1 22335 0.16030099 0.86593235 9.184570 49.614269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86599447-0.86593235) × R
    6.21199999999433e-05 × 6371000     		dl = 395.766519999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86599447-0.86593235) × R
    6.21199999999433e-05 × 6371000     		dr = 395.766519999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16020512-0.16030099) × cos(0.86599447) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.647882908661544 × 6371000     		do = 395.71895700249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16020512-0.16030099) × cos(0.86593235) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64793022669655 × 6371000     		du = 395.747858279572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86599447)-sin(0.86593235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647882908661544-0.64793022669655)×R²
    abs(0.16030099-0.16020512)×4.73180350057945e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73180350057945e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73180350057945e-05×40589641000000     		ar = 156618.033639974m²