Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34438 / 22236
↖ ↑ ↗
← N 49.965356°
E  9.173584°		 ← 392.93 m → N 49.965356°
E  9.179077°		 →
↑
392.90 m
↓
↑
392.90 m
↓
N 49.961822°
E  9.173584°		 ← 392.96 m →
154 388 m²		 N 49.961822°
E  9.179077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525489807128906 y=0.339302062988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525489807128906 × 216)
    floor (0.525489807128906 × 65536)
    floor (34438.5)     		tx = 34438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339302062988281 × 216)
    floor (0.339302062988281 × 65536)
    floor (22236.5)     		ty = 22236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34438 / 22236 ti = "16/34438/22236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34438/22236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34438 ÷ 216
    34438 ÷ 65536     		x = 0.525482177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22236 ÷ 216
    22236 ÷ 65536     		y = 0.33929443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525482177734375 × 2 - 1) × π
    0.05096435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16010924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33929443359375 × 2 - 1) × π
    0.3214111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00974285359686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16010924} λ = 0.16010924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00974285359686))-π/2
    2×atan(2.74489508435911)-π/2
    2×1.22142814966756-π/2
    2.44285629933512-1.57079632675     		φ = 0.87205997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16010924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.173584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87205997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.965356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34438 KachelY 22236 0.16010924 0.87205997 9.173584 49.965356
    Oben rechts KachelX + 1 34439 KachelY 22236 0.16020512 0.87205997 9.179077 49.965356
    Unten links KachelX 34438 KachelY + 1 22237 0.16010924 0.87199830 9.173584 49.961822
    Unten rechts KachelX + 1 34439 KachelY + 1 22237 0.16020512 0.87199830 9.179077 49.961822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87205997-0.87199830) × R
    6.16700000000137e-05 × 6371000     		dl = 392.899570000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87205997-0.87199830) × R
    6.16700000000137e-05 × 6371000     		dr = 392.899570000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16010924-0.16020512) × cos(0.87205997) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.643250685520518 × 6371000     		do = 392.930633261193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16010924-0.16020512) × cos(0.87199830) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.643297902280464 × 6371000     		du = 392.959475688887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87205997)-sin(0.87199830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643250685520518-0.643297902280464)×R²
    abs(0.16020512-0.16010924)×4.72167599465667e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72167599465667e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72167599465667e-05×40589641000000     		ar = 154387.942985824m²