Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34437 / 22095
↖ ↑ ↗
← N 50.461001°
E  9.168091°		 ← 388.83 m → N 50.461001°
E  9.173584°		 →
↑
388.82 m
↓
↑
388.82 m
↓
N 50.457504°
E  9.168091°		 ← 388.86 m →
151 191 m²		 N 50.457504°
E  9.173584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34437 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525474548339844 y=0.337150573730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525474548339844 × 216)
    floor (0.525474548339844 × 65536)
    floor (34437.5)     		tx = 34437
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337150573730469 × 216)
    floor (0.337150573730469 × 65536)
    floor (22095.5)     		ty = 22095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34437 / 22095 ti = "16/34437/22095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34437/22095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34437 ÷ 216
    34437 ÷ 65536     		x = 0.525466918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22095 ÷ 216
    22095 ÷ 65536     		y = 0.337142944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525466918945312 × 2 - 1) × π
    0.050933837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16001337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337142944335938 × 2 - 1) × π
    0.325714111328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02326105928972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16001337} λ = 0.16001337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02326105928972))-π/2
    2×atan(2.78225307833408)-π/2
    2×1.22575347005144-π/2
    2.45150694010288-1.57079632675     		φ = 0.88071061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16001337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.168091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88071061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.461001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34437 KachelY 22095 0.16001337 0.88071061 9.168091 50.461001
    Oben rechts KachelX + 1 34438 KachelY 22095 0.16010924 0.88071061 9.173584 50.461001
    Unten links KachelX 34437 KachelY + 1 22096 0.16001337 0.88064958 9.168091 50.457504
    Unten rechts KachelX + 1 34438 KachelY + 1 22096 0.16010924 0.88064958 9.173584 50.457504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88071061-0.88064958) × R
    6.10299999999064e-05 × 6371000     		dl = 388.822129999404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88071061-0.88064958) × R
    6.10299999999064e-05 × 6371000     		dr = 388.822129999404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16001337-0.16010924) × cos(0.88071061) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.636603288619933 × 6371000     		do = 388.829503030939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16001337-0.16010924) × cos(0.88064958) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.636650353248546 × 6371000     		du = 388.858249530495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88071061)-sin(0.88064958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.636603288619933-0.636650353248546)×R²
    abs(0.16010924-0.16001337)×4.7064628612925e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.7064628612925e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.7064628612925e-05×40589641000000     		ar = 151191.104259627m²