Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34436 / 32444
↖ ↑ ↗
← N  1.779499°
E  9.162598°		 ← 610.49 m → N  1.779499°
E  9.168091°		 →
↑
610.53 m
↓
↑
610.53 m
↓
N  1.774009°
E  9.162598°		 ← 610.50 m →
372 727 m²		 N  1.774009°
E  9.168091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525459289550781 y=0.495063781738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525459289550781 × 216)
    floor (0.525459289550781 × 65536)
    floor (34436.5)     		tx = 34436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495063781738281 × 216)
    floor (0.495063781738281 × 65536)
    floor (32444.5)     		ty = 32444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34436 / 32444 ti = "16/34436/32444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34436/32444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34436 ÷ 216
    34436 ÷ 65536     		x = 0.52545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32444 ÷ 216
    32444 ÷ 65536     		y = 0.49505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52545166015625 × 2 - 1) × π
    0.0509033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15991750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49505615234375 × 2 - 1) × π
    0.0098876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0310631109537964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15991750} λ = 0.15991750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0310631109537964))-π/2
    2×atan(1.03155060397474)-π/2
    2×0.800927221700085-π/2
    1.60185444340017-1.57079632675     		φ = 0.03105812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15991750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.162598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03105812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.779499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34436 KachelY 32444 0.15991750 0.03105812 9.162598 1.779499
    Oben rechts KachelX + 1 34437 KachelY 32444 0.16001337 0.03105812 9.168091 1.779499
    Unten links KachelX 34436 KachelY + 1 32445 0.15991750 0.03096229 9.162598 1.774009
    Unten rechts KachelX + 1 34437 KachelY + 1 32445 0.16001337 0.03096229 9.168091 1.774009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03105812-0.03096229) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dl = 610.53293000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03105812-0.03096229) × R
    9.58300000000016e-05 × 6371000     		dr = 610.53293000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15991750-0.16001337) × cos(0.03105812) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999517735359216 × 6371000     		do = 610.493208655492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15991750-0.16001337) × cos(0.03096229) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999520706590901 × 6371000     		du = 610.495023447467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03105812)-sin(0.03096229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999517735359216-0.999520706590901)×R²
    abs(0.16001337-0.15991750)×2.97123168491176e-06×R²
    9.58699999999979e-05×2.97123168491176e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.97123168491176e-06×40589641000000     		ar = 372726.761705926m²