Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34436 / 22373
↖ ↑ ↗
← N 49.478833°
E  9.162598°		 ← 396.85 m → N 49.478833°
E  9.168091°		 →
↑
396.91 m
↓
↑
396.91 m
↓
N 49.475263°
E  9.162598°		 ← 396.88 m →
157 519 m²		 N 49.475263°
E  9.168091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525459289550781 y=0.341392517089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525459289550781 × 216)
    floor (0.525459289550781 × 65536)
    floor (34436.5)     		tx = 34436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341392517089844 × 216)
    floor (0.341392517089844 × 65536)
    floor (22373.5)     		ty = 22373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34436 / 22373 ti = "16/34436/22373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34436/22373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34436 ÷ 216
    34436 ÷ 65536     		x = 0.52545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22373 ÷ 216
    22373 ÷ 65536     		y = 0.341384887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52545166015625 × 2 - 1) × π
    0.0509033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15991750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341384887695312 × 2 - 1) × π
    0.317230224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.996608143100967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15991750} λ = 0.15991750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.996608143100967))-π/2
    2×atan(2.709077424321)-π/2
    2×1.21718243145468-π/2
    2.43436486290937-1.57079632675     		φ = 0.86356854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15991750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.162598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86356854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.478833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34436 KachelY 22373 0.15991750 0.86356854 9.162598 49.478833
    Oben rechts KachelX + 1 34437 KachelY 22373 0.16001337 0.86356854 9.168091 49.478833
    Unten links KachelX 34436 KachelY + 1 22374 0.15991750 0.86350624 9.162598 49.475263
    Unten rechts KachelX + 1 34437 KachelY + 1 22374 0.16001337 0.86350624 9.168091 49.475263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86356854-0.86350624) × R
    6.23000000000706e-05 × 6371000     		dl = 396.91330000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86356854-0.86350624) × R
    6.23000000000706e-05 × 6371000     		dr = 396.91330000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15991750-0.16001337) × cos(0.86356854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649728928183693 × 6371000     		do = 396.846483149799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15991750-0.16001337) × cos(0.86350624) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.649776285263435 × 6371000     		du = 396.875408274929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86356854)-sin(0.86350624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649728928183693-0.649776285263435)×R²
    abs(0.16001337-0.15991750)×4.73570797421274e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73570797421274e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73570797421274e-05×40589641000000     		ar = 157519.387654623m²