Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34434 / 34923
↖ ↑ ↗
← S 11.754437°
E  9.151611°		 ← 597.98 m → S 11.754437°
E  9.157104°		 →
↑
598.05 m
↓
↑
598.05 m
↓
S 11.759815°
E  9.151611°		 ← 597.97 m →
357 616 m²		 S 11.759815°
E  9.157104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34923 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525428771972656 y=0.532890319824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525428771972656 × 216)
    floor (0.525428771972656 × 65536)
    floor (34434.5)     		tx = 34434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532890319824219 × 216)
    floor (0.532890319824219 × 65536)
    floor (34923.5)     		ty = 34923
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34434 / 34923 ti = "16/34434/34923"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34434/34923.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34434 ÷ 216
    34434 ÷ 65536     		x = 0.525421142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34923 ÷ 216
    34923 ÷ 65536     		y = 0.532882690429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525421142578125 × 2 - 1) × π
    0.05084228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15972575
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532882690429688 × 2 - 1) × π
    -0.065765380859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.206608037362442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15972575} λ = 0.15972575}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.206608037362442))-π/2
    2×atan(0.813338385776146)-π/2
    2×0.682821351843752-π/2
    1.3656427036875-1.57079632675     		φ = -0.20515362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15972575} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.151611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20515362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.754437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34434 KachelY 34923 0.15972575 -0.20515362 9.151611 -11.754437
    Oben rechts KachelX + 1 34435 KachelY 34923 0.15982162 -0.20515362 9.157104 -11.754437
    Unten links KachelX 34434 KachelY + 1 34924 0.15972575 -0.20524749 9.151611 -11.759815
    Unten rechts KachelX + 1 34435 KachelY + 1 34924 0.15982162 -0.20524749 9.157104 -11.759815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20515362--0.20524749) × R
    9.38699999999959e-05 × 6371000     		dl = 598.045769999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20515362--0.20524749) × R
    9.38699999999959e-05 × 6371000     		dr = 598.045769999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15972575-0.15982162) × cos(-0.20515362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979029700980042 × 6371000     		do = 597.979367825354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15972575-0.15982162) × cos(-0.20524749) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979010573699236 × 6371000     		du = 597.967685116164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20515362)-sin(-0.20524749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979029700980042-0.979010573699236)×R²
    abs(0.15982162-0.15972575)×1.91272808066634e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.91272808066634e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.91272808066634e-05×40589641000000     		ar = 357615.538340389m²