Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 34432 / 9855
↖ ↑ ↗
← N 82.070407°
W 85.429688°		 ← 42.14 m → N 82.070407°
W 85.426941°		 →
↑
42.11 m
↓
↑
42.11 m
↓
N 82.070028°
W 85.429688°		 ← 42.14 m →
1 774 m²		 N 82.070028°
W 85.426941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.262699127197266 y=0.0751914978027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.262699127197266 × 217)
    floor (0.262699127197266 × 131072)
    floor (34432.5)     		tx = 34432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0751914978027344 × 217)
    floor (0.0751914978027344 × 131072)
    floor (9855.5)     		ty = 9855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 34432 / 9855 ti = "17/34432/9855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/34432/9855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34432 ÷ 217
    34432 ÷ 131072     		x = 0.2626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9855 ÷ 217
    9855 ÷ 131072     		y = 0.0751876831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2626953125 × 2 - 1) × π
    -0.474609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.49102933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0751876831054688 × 2 - 1) × π
    0.849624633789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.66917450774435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.49102933} λ = -1.49102933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66917450774435))-π/2
    2×atan(14.4280540286768)-π/2
    2×1.50159757466415-π/2
    3.00319514932831-1.57079632675     		φ = 1.43239882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.49102933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.429688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43239882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.070407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34432 KachelY 9855 -1.49102933 1.43239882 -85.429688 82.070407
    Oben rechts KachelX + 1 34433 KachelY 9855 -1.49098139 1.43239882 -85.426941 82.070407
    Unten links KachelX 34432 KachelY + 1 9856 -1.49102933 1.43239221 -85.429688 82.070028
    Unten rechts KachelX + 1 34433 KachelY + 1 9856 -1.49098139 1.43239221 -85.426941 82.070028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43239882-1.43239221) × R
    6.61000000001799e-06 × 6371000     		dl = 42.1123100001146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43239882-1.43239221) × R
    6.61000000001799e-06 × 6371000     		dr = 42.1123100001146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.49102933--1.49098139) × cos(1.43239882) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.137956121745636 × 6371000     		do = 42.1353505716633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.49102933--1.49098139) × cos(1.43239221) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.13796266854006 × 6371000     		du = 42.1373501311949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43239882)-sin(1.43239221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.137956121745636-0.13796266854006)×R²
    abs(-1.49098139--1.49102933)×6.54679442402273e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.54679442402273e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.54679442402273e-06×40589641000000     		ar = 1774.45904827419m²