Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34432 / 34910
↖ ↑ ↗
← S 11.684515°
E  9.140625°		 ← 598.19 m → S 11.684515°
E  9.146118°		 →
↑
598.11 m
↓
↑
598.11 m
↓
S 11.689893°
E  9.140625°		 ← 598.18 m →
357 782 m²		 S 11.689893°
E  9.146118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525398254394531 y=0.532691955566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525398254394531 × 216)
    floor (0.525398254394531 × 65536)
    floor (34432.5)     		tx = 34432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532691955566406 × 216)
    floor (0.532691955566406 × 65536)
    floor (34910.5)     		ty = 34910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34432 / 34910 ti = "16/34432/34910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34432/34910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34432 ÷ 216
    34432 ÷ 65536     		x = 0.525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34910 ÷ 216
    34910 ÷ 65536     		y = 0.532684326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525390625 × 2 - 1) × π
    0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.532684326171875 × 2 - 1) × π
    -0.06536865234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.205361677972321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15953400} λ = 0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.205361677972321))-π/2
    2×atan(0.814352729697832)-π/2
    2×0.683431540584236-π/2
    1.36686308116847-1.57079632675     		φ = -0.20393325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20393325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.684515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34432 KachelY 34910 0.15953400 -0.20393325 9.140625 -11.684515
    Oben rechts KachelX + 1 34433 KachelY 34910 0.15962988 -0.20393325 9.146118 -11.684515
    Unten links KachelX 34432 KachelY + 1 34911 0.15953400 -0.20402713 9.140625 -11.689893
    Unten rechts KachelX + 1 34433 KachelY + 1 34911 0.15962988 -0.20402713 9.146118 -11.689893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20393325--0.20402713) × R
    9.38799999999906e-05 × 6371000     		dl = 598.10947999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20393325--0.20402713) × R
    9.38799999999906e-05 × 6371000     		dr = 598.10947999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15953400-0.15962988) × cos(-0.20393325) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979277582682254 × 6371000     		do = 598.193160712231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15953400-0.15962988) × cos(-0.20402713) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.979258565542277 × 6371000     		du = 598.181544064131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20393325)-sin(-0.20402713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979277582682254-0.979258565542277)×R²
    abs(0.15962988-0.15953400)×1.90171399769845e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.90171399769845e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.90171399769845e-05×40589641000000     		ar = 357781.526542183m²