Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34431 / 32407
↖ ↑ ↗
← N  1.982636°
E  9.135132°		 ← 610.42 m → N  1.982636°
E  9.140625°		 →
↑
610.41 m
↓
↑
610.41 m
↓
N  1.977147°
E  9.135132°		 ← 610.42 m →
372 606 m²		 N  1.977147°
E  9.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525382995605469 y=0.494499206542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525382995605469 × 216)
    floor (0.525382995605469 × 65536)
    floor (34431.5)     		tx = 34431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494499206542969 × 216)
    floor (0.494499206542969 × 65536)
    floor (32407.5)     		ty = 32407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34431 / 32407 ti = "16/34431/32407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34431/32407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34431 ÷ 216
    34431 ÷ 65536     		x = 0.525375366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32407 ÷ 216
    32407 ÷ 65536     		y = 0.494491577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525375366210938 × 2 - 1) × π
    0.050750732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15943813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494491577148438 × 2 - 1) × π
    0.011016845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0346104415256805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15943813} λ = 0.15943813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0346104415256805))-π/2
    2×atan(1.03521635293634)-π/2
    2×0.80269993025726-π/2
    1.60539986051452-1.57079632675     		φ = 0.03460353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15943813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.135132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03460353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.982636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34431 KachelY 32407 0.15943813 0.03460353 9.135132 1.982636
    Oben rechts KachelX + 1 34432 KachelY 32407 0.15953400 0.03460353 9.140625 1.982636
    Unten links KachelX 34431 KachelY + 1 32408 0.15943813 0.03450772 9.135132 1.977147
    Unten rechts KachelX + 1 34432 KachelY + 1 32408 0.15953400 0.03450772 9.140625 1.977147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03460353-0.03450772) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dl = 610.405510000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03460353-0.03450772) × R
    9.58100000000017e-05 × 6371000     		dr = 610.405510000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15943813-0.15953400) × cos(0.03460353) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.999401357594095 × 6371000     		do = 610.422126539856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15943813-0.15953400) × cos(0.03450772) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.99940466770967 × 6371000     		du = 610.424148317967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03460353)-sin(0.03450772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999401357594095-0.99940466770967)×R²
    abs(0.15953400-0.15943813)×3.31011557486161e-06×R²
    9.58699999999979e-05×3.31011557486161e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.31011557486161e-06×40589641000000     		ar = 372605.646803133m²