Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34431 / 21699
↖ ↑ ↗
← N 51.825593°
E  9.135132°		 ← 377.50 m → N 51.825593°
E  9.140625°		 →
↑
377.55 m
↓
↑
377.55 m
↓
N 51.822198°
E  9.135132°		 ← 377.53 m →
142 529 m²		 N 51.822198°
E  9.140625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525382995605469 y=0.331108093261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525382995605469 × 216)
    floor (0.525382995605469 × 65536)
    floor (34431.5)     		tx = 34431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331108093261719 × 216)
    floor (0.331108093261719 × 65536)
    floor (21699.5)     		ty = 21699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34431 / 21699 ti = "16/34431/21699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34431/21699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34431 ÷ 216
    34431 ÷ 65536     		x = 0.525375366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21699 ÷ 216
    21699 ÷ 65536     		y = 0.331100463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525375366210938 × 2 - 1) × π
    0.050750732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15943813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331100463867188 × 2 - 1) × π
    0.337799072265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0612270837888
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15943813} λ = 0.15943813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0612270837888))-π/2
    2×atan(2.88991498226084)-π/2
    2×1.23766178421576-π/2
    2.47532356843152-1.57079632675     		φ = 0.90452724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15943813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.135132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90452724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.825593°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34431 KachelY 21699 0.15943813 0.90452724 9.135132 51.825593
    Oben rechts KachelX + 1 34432 KachelY 21699 0.15953400 0.90452724 9.140625 51.825593
    Unten links KachelX 34431 KachelY + 1 21700 0.15943813 0.90446798 9.135132 51.822198
    Unten rechts KachelX + 1 34432 KachelY + 1 21700 0.15953400 0.90446798 9.140625 51.822198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90452724-0.90446798) × R
    5.92600000000054e-05 × 6371000     		dl = 377.545460000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90452724-0.90446798) × R
    5.92600000000054e-05 × 6371000     		dr = 377.545460000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15943813-0.15953400) × cos(0.90452724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.618057301248822 × 6371000     		do = 377.501840761978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15943813-0.15953400) × cos(0.90446798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61810388640811 × 6371000     		du = 377.530294407535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90452724)-sin(0.90446798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618057301248822-0.61810388640811)×R²
    abs(0.15953400-0.15943813)×4.65851592877931e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65851592877931e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65851592877931e-05×40589641000000     		ar = 142529.477435298m²