Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34430 / 34912
↖ ↑ ↗
← S 11.695273°
E  9.129638°		 ← 598.17 m → S 11.695273°
E  9.135132°		 →
↑
598.11 m
↓
↑
598.11 m
↓
S 11.700652°
E  9.129638°		 ← 598.16 m →
357 768 m²		 S 11.700652°
E  9.135132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525367736816406 y=0.532722473144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525367736816406 × 216)
    floor (0.525367736816406 × 65536)
    floor (34430.5)     		tx = 34430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.532722473144531 × 216)
    floor (0.532722473144531 × 65536)
    floor (34912.5)     		ty = 34912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34430 / 34912 ti = "16/34430/34912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34430/34912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34430 ÷ 216
    34430 ÷ 65536     		x = 0.525360107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34912 ÷ 216
    34912 ÷ 65536     		y = 0.53271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525360107421875 × 2 - 1) × π
    0.05072021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15934225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53271484375 × 2 - 1) × π
    -0.0654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.205553425570801
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15934225} λ = 0.15934225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.205553425570801))-π/2
    2×atan(0.814196594487351)-π/2
    2×0.683337655345285-π/2
    1.36667531069057-1.57079632675     		φ = -0.20412102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15934225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.129638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20412102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.695273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34430 KachelY 34912 0.15934225 -0.20412102 9.129638 -11.695273
    Oben rechts KachelX + 1 34431 KachelY 34912 0.15943813 -0.20412102 9.135132 -11.695273
    Unten links KachelX 34430 KachelY + 1 34913 0.15934225 -0.20421490 9.129638 -11.700652
    Unten rechts KachelX + 1 34431 KachelY + 1 34913 0.15943813 -0.20421490 9.135132 -11.700652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20412102--0.20421490) × R
    9.38800000000184e-05 × 6371000     		dl = 598.109480000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20412102--0.20421490) × R
    9.38800000000184e-05 × 6371000     		dr = 598.109480000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15934225-0.15943813) × cos(-0.20412102) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.979239537744585 × 6371000     		do = 598.169920905923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15934225-0.15943813) × cos(-0.20421490) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.979220503342555 × 6371000     		du = 598.158293713272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20412102)-sin(-0.20421490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979239537744585-0.979220503342555)×R²
    abs(0.15943813-0.15934225)×1.90344020299937e-05×R²
    9.58800000000204e-05×1.90344020299937e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×1.90344020299937e-05×40589641000000     		ar = 357767.623440373m²