Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34430 / 22394
↖ ↑ ↗
← N 49.403824°
E  9.129638°		 ← 397.50 m → N 49.403824°
E  9.135132°		 →
↑
397.49 m
↓
↑
397.49 m
↓
N 49.400250°
E  9.129638°		 ← 397.52 m →
158 005 m²		 N 49.400250°
E  9.135132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525367736816406 y=0.341712951660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525367736816406 × 216)
    floor (0.525367736816406 × 65536)
    floor (34430.5)     		tx = 34430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341712951660156 × 216)
    floor (0.341712951660156 × 65536)
    floor (22394.5)     		ty = 22394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34430 / 22394 ti = "16/34430/22394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34430/22394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34430 ÷ 216
    34430 ÷ 65536     		x = 0.525360107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22394 ÷ 216
    22394 ÷ 65536     		y = 0.341705322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525360107421875 × 2 - 1) × π
    0.05072021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15934225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341705322265625 × 2 - 1) × π
    0.31658935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.994594793316925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15934225} λ = 0.15934225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994594793316925))-π/2
    2×atan(2.70362859091817)-π/2
    2×1.21652786506723-π/2
    2.43305573013445-1.57079632675     		φ = 0.86225940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15934225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.129638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86225940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.403824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34430 KachelY 22394 0.15934225 0.86225940 9.129638 49.403824
    Oben rechts KachelX + 1 34431 KachelY 22394 0.15943813 0.86225940 9.135132 49.403824
    Unten links KachelX 34430 KachelY + 1 22395 0.15934225 0.86219701 9.129638 49.400250
    Unten rechts KachelX + 1 34431 KachelY + 1 22395 0.15943813 0.86219701 9.135132 49.400250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86225940-0.86219701) × R
    6.23899999999677e-05 × 6371000     		dl = 397.486689999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86225940-0.86219701) × R
    6.23899999999677e-05 × 6371000     		dr = 397.486689999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15934225-0.15943813) × cos(0.86225940) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.65072353482476 × 6371000     		do = 397.495434318621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15934225-0.15943813) × cos(0.86219701) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.650770907205164 × 6371000     		du = 397.524371807302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86225940)-sin(0.86219701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.65072353482476-0.650770907205164)×R²
    abs(0.15943813-0.15934225)×4.73723804044202e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.73723804044202e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.73723804044202e-05×40589641000000     		ar = 158004.895662062m²