Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3443 / 3953
↖ ↑ ↗
← N 79.462551°
W142.174072°		 ← 223.41 m → N 79.462551°
W142.163086°		 →
↑
223.43 m
↓
↑
223.43 m
↓
N 79.460541°
W142.174072°		 ← 223.45 m →
49 922 m²		 N 79.460541°
W142.163086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3443 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.105087280273438 y=0.120651245117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.105087280273438 × 215)
    floor (0.105087280273438 × 32768)
    floor (3443.5)     		tx = 3443
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120651245117188 × 215)
    floor (0.120651245117188 × 32768)
    floor (3953.5)     		ty = 3953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3443 / 3953 ti = "15/3443/3953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3443/3953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3443 ÷ 215
    3443 ÷ 32768     		x = 0.105072021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3953 ÷ 215
    3953 ÷ 32768     		y = 0.120635986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.105072021484375 × 2 - 1) × π
    -0.78985595703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.48140567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120635986328125 × 2 - 1) × π
    0.75872802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38361439670767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.48140567} λ = -2.48140567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38361439670767))-π/2
    2×atan(10.8440267312656)-π/2
    2×1.47883973512784-π/2
    2.95767947025567-1.57079632675     		φ = 1.38688314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.48140567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.174072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38688314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.462551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3443 KachelY 3953 -2.48140567 1.38688314 -142.174072 79.462551
    Oben rechts KachelX + 1 3444 KachelY 3953 -2.48121392 1.38688314 -142.163086 79.462551
    Unten links KachelX 3443 KachelY + 1 3954 -2.48140567 1.38684807 -142.174072 79.460541
    Unten rechts KachelX + 1 3444 KachelY + 1 3954 -2.48121392 1.38684807 -142.163086 79.460541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38688314-1.38684807) × R
    3.50699999998039e-05 × 6371000     		dl = 223.43096999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38688314-1.38684807) × R
    3.50699999998039e-05 × 6371000     		dr = 223.43096999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.48140567--2.48121392) × cos(1.38688314) × R
    0.000191749999999935 × 0.182878157005978 × 6371000     		do = 223.411134566089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.48140567--2.48121392) × cos(1.38684807) × R
    0.000191749999999935 × 0.182912635458496 × 6371000     		du = 223.453254796965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38688314)-sin(1.38684807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182878157005978-0.182912635458496)×R²
    abs(-2.48121392--2.48140567)×3.44784525186659e-05×R²
    0.000191749999999935×3.44784525186659e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.44784525186659e-05×40589641000000     		ar = 49921.6719914897m²