Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34428 / 36231
↖ ↑ ↗
← S 18.682675°
E  9.118653°		 ← 578.60 m → S 18.682675°
E  9.124145°		 →
↑
578.61 m
↓
↑
578.61 m
↓
S 18.687878°
E  9.118653°		 ← 578.59 m →
334 783 m²		 S 18.687878°
E  9.124145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525337219238281 y=0.552848815917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525337219238281 × 216)
    floor (0.525337219238281 × 65536)
    floor (34428.5)     		tx = 34428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552848815917969 × 216)
    floor (0.552848815917969 × 65536)
    floor (36231.5)     		ty = 36231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34428 / 36231 ti = "16/34428/36231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34428/36231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34428 ÷ 216
    34428 ÷ 65536     		x = 0.52532958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36231 ÷ 216
    36231 ÷ 65536     		y = 0.552841186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52532958984375 × 2 - 1) × π
    0.0506591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.15915051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552841186523438 × 2 - 1) × π
    -0.105682373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.332010966768509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15915051} λ = 0.15915051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.332010966768509))-π/2
    2×atan(0.717479454380211)-π/2
    2×0.622361067031522-π/2
    1.24472213406304-1.57079632675     		φ = -0.32607419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15915051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.118653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32607419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.682675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34428 KachelY 36231 0.15915051 -0.32607419 9.118653 -18.682675
    Oben rechts KachelX + 1 34429 KachelY 36231 0.15924638 -0.32607419 9.124145 -18.682675
    Unten links KachelX 34428 KachelY + 1 36232 0.15915051 -0.32616501 9.118653 -18.687878
    Unten rechts KachelX + 1 34429 KachelY + 1 36232 0.15924638 -0.32616501 9.124145 -18.687878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32607419--0.32616501) × R
    9.08199999999915e-05 × 6371000     		dl = 578.614219999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32607419--0.32616501) × R
    9.08199999999915e-05 × 6371000     		dr = 578.614219999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15915051-0.15924638) × cos(-0.32607419) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947307181436573 × 6371000     		do = 578.603640854617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15915051-0.15924638) × cos(-0.32616501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947278085471757 × 6371000     		du = 578.585869395151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32607419)-sin(-0.32616501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947307181436573-0.947278085471757)×R²
    abs(0.15924638-0.15915051)×2.90959648151512e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.90959648151512e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.90959648151512e-05×40589641000000     		ar = 334783.15316273m²