Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34427 / 36467
↖ ↑ ↗
← S 19.906219°
E  9.113159°		 ← 574.35 m → S 19.906219°
E  9.118653°		 →
↑
574.28 m
↓
↑
574.28 m
↓
S 19.911383°
E  9.113159°		 ← 574.34 m →
329 836 m²		 S 19.911383°
E  9.118653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525321960449219 y=0.556449890136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525321960449219 × 216)
    floor (0.525321960449219 × 65536)
    floor (34427.5)     		tx = 34427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556449890136719 × 216)
    floor (0.556449890136719 × 65536)
    floor (36467.5)     		ty = 36467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34427 / 36467 ti = "16/34427/36467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34427/36467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34427 ÷ 216
    34427 ÷ 65536     		x = 0.525314331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36467 ÷ 216
    36467 ÷ 65536     		y = 0.556442260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525314331054688 × 2 - 1) × π
    0.050628662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15905463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.556442260742188 × 2 - 1) × π
    -0.112884521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.354637183389175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15905463} λ = 0.15905463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.354637183389175))-π/2
    2×atan(0.701427886736216)-π/2
    2×0.611683634918177-π/2
    1.22336726983635-1.57079632675     		φ = -0.34742906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15905463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.113159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34742906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.906219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34427 KachelY 36467 0.15905463 -0.34742906 9.113159 -19.906219
    Oben rechts KachelX + 1 34428 KachelY 36467 0.15915051 -0.34742906 9.118653 -19.906219
    Unten links KachelX 34427 KachelY + 1 36468 0.15905463 -0.34751920 9.113159 -19.911383
    Unten rechts KachelX + 1 34428 KachelY + 1 36468 0.15915051 -0.34751920 9.118653 -19.911383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34742906--0.34751920) × R
    9.01399999999608e-05 × 6371000     		dl = 574.28193999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34742906--0.34751920) × R
    9.01399999999608e-05 × 6371000     		dr = 574.28193999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15905463-0.15915051) × cos(-0.34742906) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.940251177065865 × 6371000     		do = 574.353823082382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15905463-0.15915051) × cos(-0.34751920) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.940220482234068 × 6371000     		du = 574.33507309895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34742906)-sin(-0.34751920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.940251177065865-0.940220482234068)×R²
    abs(0.15915051-0.15905463)×3.06948317970734e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.06948317970734e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.06948317970734e-05×40589641000000     		ar = 329835.644100758m²