Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34427 / 32409
↖ ↑ ↗
← N  1.971657°
E  9.113159°		 ← 610.49 m → N  1.971657°
E  9.118653°		 →
↑
610.47 m
↓
↑
610.47 m
↓
N  1.966167°
E  9.113159°		 ← 610.49 m →
372 686 m²		 N  1.966167°
E  9.118653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 32409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525321960449219 y=0.494529724121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525321960449219 × 216)
    floor (0.525321960449219 × 65536)
    floor (34427.5)     		tx = 34427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494529724121094 × 216)
    floor (0.494529724121094 × 65536)
    floor (32409.5)     		ty = 32409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34427 / 32409 ti = "16/34427/32409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34427/32409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34427 ÷ 216
    34427 ÷ 65536     		x = 0.525314331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 32409 ÷ 216
    32409 ÷ 65536     		y = 0.494522094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525314331054688 × 2 - 1) × π
    0.050628662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.15905463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.494522094726562 × 2 - 1) × π
    0.010955810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0344186939272003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15905463} λ = 0.15905463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0344186939272003))-π/2
    2×atan(1.03501787171651)-π/2
    2×0.802604113534926-π/2
    1.60520822706985-1.57079632675     		φ = 0.03441190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15905463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.113159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03441190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.971657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34427 KachelY 32409 0.15905463 0.03441190 9.113159 1.971657
    Oben rechts KachelX + 1 34428 KachelY 32409 0.15915051 0.03441190 9.118653 1.971657
    Unten links KachelX 34427 KachelY + 1 32410 0.15905463 0.03431608 9.113159 1.966167
    Unten rechts KachelX + 1 34428 KachelY + 1 32410 0.15915051 0.03431608 9.118653 1.966167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03441190-0.03431608) × R
    9.58200000000034e-05 × 6371000     		dl = 610.469220000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03441190-0.03431608) × R
    9.58200000000034e-05 × 6371000     		dr = 610.469220000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15905463-0.15915051) × cos(0.03441190) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999407968995204 × 6371000     		do = 610.489836984468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15905463-0.15915051) × cos(0.03431608) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.999411261104703 × 6371000     		du = 610.491847974427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03441190)-sin(0.03431608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999407968995204-0.999411261104703)×R²
    abs(0.15915051-0.15905463)×3.29210949812087e-06×R²
    9.58799999999926e-05×3.29210949812087e-06×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.29210949812087e-06×40589641000000     		ar = 372685.868710723m²