Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34426 / 36230
↖ ↑ ↗
← S 18.677471°
E  9.107666°		 ← 578.62 m → S 18.677471°
E  9.113159°		 →
↑
578.61 m
↓
↑
578.61 m
↓
S 18.682675°
E  9.107666°		 ← 578.60 m →
334 793 m²		 S 18.682675°
E  9.113159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525306701660156 y=0.552833557128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525306701660156 × 216)
    floor (0.525306701660156 × 65536)
    floor (34426.5)     		tx = 34426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552833557128906 × 216)
    floor (0.552833557128906 × 65536)
    floor (36230.5)     		ty = 36230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34426 / 36230 ti = "16/34426/36230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34426/36230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34426 ÷ 216
    34426 ÷ 65536     		x = 0.525299072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36230 ÷ 216
    36230 ÷ 65536     		y = 0.552825927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525299072265625 × 2 - 1) × π
    0.05059814453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15895876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552825927734375 × 2 - 1) × π
    -0.10565185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.331915092969269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15895876} λ = 0.15895876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.331915092969269))-π/2
    2×atan(0.717548245158944)-π/2
    2×0.622406478697997-π/2
    1.24481295739599-1.57079632675     		φ = -0.32598337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15895876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.107666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32598337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.677471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34426 KachelY 36230 0.15895876 -0.32598337 9.107666 -18.677471
    Oben rechts KachelX + 1 34427 KachelY 36230 0.15905463 -0.32598337 9.113159 -18.677471
    Unten links KachelX 34426 KachelY + 1 36231 0.15895876 -0.32607419 9.107666 -18.682675
    Unten rechts KachelX + 1 34427 KachelY + 1 36231 0.15905463 -0.32607419 9.113159 -18.682675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32598337--0.32607419) × R
    9.08199999999915e-05 × 6371000     		dl = 578.614219999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32598337--0.32607419) × R
    9.08199999999915e-05 × 6371000     		dr = 578.614219999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15895876-0.15905463) × cos(-0.32598337) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.94733626958774 × 6371000     		do = 578.621407541602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15895876-0.15905463) × cos(-0.32607419) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947307181436573 × 6371000     		du = 578.603640854617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32598337)-sin(-0.32607419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94733626958774-0.947307181436573)×R²
    abs(0.15905463-0.15895876)×2.90881511675334e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.90881511675334e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.90881511675334e-05×40589641000000     		ar = 334793.434601259m²