Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34425 / 36216
↖ ↑ ↗
← S 18.604601°
E  9.102173°		 ← 578.87 m → S 18.604601°
E  9.107666°		 →
↑
578.87 m
↓
↑
578.87 m
↓
S 18.609807°
E  9.102173°		 ← 578.85 m →
335 085 m²		 S 18.609807°
E  9.107666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525291442871094 y=0.552619934082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525291442871094 × 216)
    floor (0.525291442871094 × 65536)
    floor (34425.5)     		tx = 34425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552619934082031 × 216)
    floor (0.552619934082031 × 65536)
    floor (36216.5)     		ty = 36216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34425 / 36216 ti = "16/34425/36216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34425/36216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34425 ÷ 216
    34425 ÷ 65536     		x = 0.525283813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36216 ÷ 216
    36216 ÷ 65536     		y = 0.5526123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525283813476562 × 2 - 1) × π
    0.050567626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15886289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5526123046875 × 2 - 1) × π
    -0.105224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.330572859779907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15886289} λ = 0.15886289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.330572859779907))-π/2
    2×atan(0.718512008881699)-π/2
    2×0.623042388277099-π/2
    1.2460847765542-1.57079632675     		φ = -0.32471155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15886289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.102173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32471155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.604601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34425 KachelY 36216 0.15886289 -0.32471155 9.102173 -18.604601
    Oben rechts KachelX + 1 34426 KachelY 36216 0.15895876 -0.32471155 9.107666 -18.604601
    Unten links KachelX 34425 KachelY + 1 36217 0.15886289 -0.32480241 9.102173 -18.609807
    Unten rechts KachelX + 1 34426 KachelY + 1 36217 0.15895876 -0.32480241 9.107666 -18.609807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32471155--0.32480241) × R
    9.08599999999704e-05 × 6371000     		dl = 578.869059999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32471155--0.32480241) × R
    9.08599999999704e-05 × 6371000     		dr = 578.869059999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15886289-0.15895876) × cos(-0.32471155) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947742791608937 × 6371000     		do = 578.869706220385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15886289-0.15895876) × cos(-0.32480241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.947713800138404 × 6371000     		du = 578.851998584749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32471155)-sin(-0.32480241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947742791608937-0.947713800138404)×R²
    abs(0.15895876-0.15886289)×2.89914705330352e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.89914705330352e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.89914705330352e-05×40589641000000     		ar = 335084.637731396m²